Lección 2 Lo gires por donde lo gires Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Desarrollar una estrategia para dibujar sólidos de revolución.

Un centavo que gira rápidamente se ve como una esfera. ¿A qué se parecerían un triángulo, un rectángulo o un trapecio que giran?

¿Cómo cambiaría la forma de la figura que se crea cuando un objeto gira si el objeto girara alrededor de un eje distinto?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Si alguna vez jugaste con un trompo, usaste un torno de alfarero o viste un patinador artístico, puede que te hayas dado cuenta de que, al girar rápidamente, todos parecían formar un sólido. El tazón de barro, el trompo y el patinador se pueden modelar cada uno como un sólido de revolución: un objeto de tres dimensiones que se forma cuando una figura de dos dimensiones gira alrededor de un eje.

Supongamos que el triángulo rectángulo rota rápidamente alrededor del eje . Al igual que el patinador que gira, el movimiento rápido del triángulo que rota forma una imagen sólida.

1.

Dibuja y describe el sólido de revolución que se forma al rotar este triángulo alrededor del eje .

Triangle with vertices (0,0), (4,0), (4,2)x–4–4–4–2–2–2222444y–4–4–4–2–2–2222444000

2.

Encuentra el volumen del sólido que se formó.

3.

Describe la estrategia que usaste para dibujar el sólido de revolución de este triángulo.

4.

¿Cómo se ve la figura que se obtiene si el semicírculo rota rápidamente alrededor del eje ? Dibuja y describe el sólido de revolución que se forma al rotar este semicírculo alrededor del eje .

Semicircle with center at (0,0) and radius 2. x–2–2–2222y–2–2–2222000

5.

Encuentra el volumen del sólido que se formó en el problema 4.

6.

¿Cómo se ve la figura que se obtiene si el triángulo rota rápidamente alrededor del eje ? Dibuja y describe el sólido de revolución que se forma al rotar este triángulo alrededor del eje .

Triangle with vertices (0,0), (4,0), (4,2)x–4–4–4–2–2–2222444y–2–2–2222444000

7.

Encuentra el volumen del sólido que se formó en el problema 6.

8.

¿Qué pasaría con la siguiente figura de dos dimensiones? Dibuja y describe el sólido de revolución que se forma al rotar la figura alrededor del eje .

wave shape on coordinate planex555101010151515y–5–5–5555000

9.

Observa el sólido de revolución que se formó al rotar la figura del problema 8. Dibuja una sección transversal del sólido si el plano que lo corta es el plano que contiene los ejes de coordenadas.

wave shape on coordinate planex555101010151515y–5–5–5555000

10.

Observa el sólido de revolución que se formó al rotar la figura del problema 9. Los planos que cortan el sólido son perpendiculares al plano que contiene los ejes de coordenadas. Dibuja las secciones transversales formadas por la intersección del sólido y los planos ubicados en , y .

wave shape on coordinate planex555101010151515y–5–5–5555000

¿Por qué nos interesan sólidos que en realidad no existen? Después de todo, no son más que un movimiento rápido que forma una imagen de un sólido en nuestra imaginación. Los sólidos de revolución se usan para crear modelos matemáticos de sólidos reales. El sólido se describe en términos de la figura de dos dimensiones que lo genera.

11.

Para cada uno de los siguientes sólidos, dibuja la figura de dos dimensiones que gira alrededor del eje para generarlo.

a.

an image of a bell
a blank graph

b.

an image of a vase
a blank graph

c.

an image of a rocket
a blank graph

12.

¿Qué problemas surgen cuando se modelan estos objetos como sólidos de revolución?

¿Listo para más?

Dibuja una gráfica de la función exponencial en el intervalo . Dibuja el sólido de revolución que se forma cuando esta parte de la función gira alrededor del eje .

Calcula el área de cada una de las secciones transversales del sólido de revolución para cada posición entera en el intervalo a lo largo del eje ­.

A blank graphx–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333y–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444000

Aprendizajes

Estrategias para dibujar, describir o analizar un sólido de revolución:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo crear sólidos de revolución rotando una figura de dos dimensiones alrededor de un eje de rotación. También analizamos las secciones transversales que se forman cuando los sólidos de revolución se cortan de manera perpendicular al plano que contiene los ejes.

Repaso

1.

Usa las medidas dadas en el triángulo para escribir el valor de la razón trigonométrica que se indica. Después, encuentra la medida del ángulo , en grados, redondeada a la centésima más cercana.

Triangle ABC with AB=25, BC=7, AC=24, Angle C is the right angle

2.

Usa la fórmula para encontrar el volumen del prisma triangular recto.

Triangular prism with Triangle ABC as the base side a=13, b=5, and c=12