Lección 1 Ganador, ganador Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Comprender el comportamiento de $f (x) = \frac{1}{x}$ para valores de $x$ muy grandes y para valores de $x$ cercanos a $0$ .

Graficar y describir las características de $f (x) = \frac{1}{x}$ usando la notación apropiada.

¿Cómo el ejemplo de ganar la lotería puede ayudarnos a pensar en $f (x) = \frac{1}{x}$ ?

¿Qué características hacen que $f (x) = \frac{1}{x}$ sea matemáticamente interesante?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Una de las funciones más interesantes de las matemáticas es $f (x) = \frac{1}{x}$ porque revela sorprendentes hechos matemáticos. En esta actividad, usaremos un contexto-historia y representaciones, como tablas y gráficas, para comprender esta importante función.

Empecemos por pensar en el intervalo $[1, \infty)$ .

1.

Imagina que ganaste la lotería y te dieron una gran cantidad de dinero. Por supuesto, te gustaría compartir el dinero con amigos y familiares. Si divides el dinero en partes iguales entre tú y un amigo, ¿cuál sería la parte del premio que le corresponde a cada persona?

2.

Si el premio se reparte entre tres personas, ¿qué parte le corresponde a cada persona?

3.

Modela la situación con una tabla, una ecuación y una gráfica.

4.

En caso de que no hayas pensado en los números realmente grandes de tu modelo, ¿cuánto obtendría cada persona si tuvieras que compartir el premio con $1, 000$ personas? ¿Con $100, 000$ personas? ¿Con $100, 000, 000$ personas?

5.

Usa notación matemática para describir el comportamiento de esta función cuando $x \to \infty$ .

A continuación, veamos el intervalo $(0, 1]$ y consideremos una nueva forma de pensar en dividir el dinero del premio.

6.

Imagina que quieres que cada persona tenga $\frac{1}{2}$ del premio. ¿Cuántas personas podrían compartir el premio?

7.

Si quieres que cada persona tenga $\frac{1}{3}$ del premio, ¿cuántas personas podrían compartir el premio?

8.

Modela esta situación con una tabla, una ecuación y una gráfica.

9.

¿Qué observas cuando comparas los dos modelos que escribiste?

Ahora juntemos todo para graficar la función completa, $f (x) = \frac{1}{x}$ .

10.

Crea una tabla para $f (x) = \frac{1}{x}$ que incluya valores de entrada negativos.

11.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los valores de $f (x)$ en el intervalo $(- \infty, 0)$ con los valores de $f (x)$ en el intervalo $(0, \infty)$ ? Usa esta comparación para predecir la gráfica de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

12.

Grafica $f (x) = \frac{1}{x}$ .

13.

Describe las características de $f (x) = \frac{1}{x}$ . Incluye el dominio, el rango, los intervalos donde crece y donde decrece, las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , el comportamiento final y cualquier máximo o mínimo.

¿Listo para más?

¿Cómo le explicarías a un amigo por qué $\frac{1}{0}$ no es $0$ ? ¿Qué razones puedes dar para que $\frac{1}{0}$ no esté definido?

Aprendizajes

Características de $f (x) = \frac{1}{x}$

Intervalo $(1, \infty)$
Intervalo $(0, 1]$
Características
Simetría
Comportamiento final
Asíntotas
Dominio
Rango
Intervalos donde decrece
Intersecciones con los ejes, máximos, mínimos

Vocabulario

asíntota
asíntota horizontal
asíntota vertical
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos sobre la función $f (x) = \frac{1}{x}$ , una función racional. Aprendimos sobre las características de la función y su comportamiento cerca de las asíntotas horizontales y verticales.

Repaso

1.

¿Qué transformación hay que hacerle a $f (x) = x^{2}$ para obtener la gráfica que se muestra? Escribe la ecuación en forma canónica.

2.

Escribe la ecuación de la siguiente función exponencial. Luego, escribe la ecuación de la asíntota horizontal.