Lección 3 Pensamiento racional Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Grafica cada función:

1.

$y = - 2 + \frac{1}{x + 3}$

2.

$y = 1 - \frac{1}{x - 2}$

Focos de aprendizaje

Definir una función racional.

Explorar funciones racionales y encontrar patrones que permitan predecir las asíntotas y las intersecciones.

¿Qué es una función racional? ¿Cómo es la gráfica de una función racional?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La categoría de las funciones racionales contiene muchas funciones, por ejemplo, la función $f (x) = \frac{1}{x}$ . Un número racional es una razón de números enteros. Una función racional es una razón de polinomios. Dado que los polinomios vienen en muchas formas —constantes, lineales, cuadráticos, cúbicos, etc.—, podemos esperar que las funciones racionales también tengan muchas formas. Algunos ejemplos son:

$f (x) = \frac{1}{x}$	$f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$	$f (x) = \frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1}$	$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{(x - 3) (x + 1)}$
Grado del numerador $=$ $0$ Grado del denominador $=$ $1$	Grado del numerador $=$ $1$ Grado del denominador $=$ $1$	Grado del numerador $=$ $1$ Grado del denominador $=$ $3$	Grado del numerador $=$ $2$ Grado del denominador $=$ $2$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1}$

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{(x - 3) (x + 1)}$

Grado del numerador $=$ $0$

Grado del denominador $=$ $1$

Grado del numerador $=$ $1$

Grado del denominador $=$ $1$

Grado del numerador $=$ $1$

Grado del denominador $=$ $3$

Grado del numerador $=$ $2$

Grado del denominador $=$ $2$

En la actividad de hoy, vas a buscar patrones en las siguientes formas para que puedas completar la tabla:

	Cómo encontrar la asíntota vertical:	Cómo encontrar la asíntota horizontal:	Cómo encontrar las intersecciones con los ejes:
Grado del numerador $<$ Grado del denominador
Grado del numerador $=$ Grado del denominador

Observa las siguientes funciones racionales. Primero, identifica el grado del numerador y el denominador. Luego, con ayuda de tecnología, grafica la función. Mientras trabajas, busca patrones que te ayuden a completar la tabla. Necesitas encontrar una forma rápida de identificar las asíntotas horizontales y verticales en la ecuación de una función racional, además de observar otros patrones que te ayudarán a analizar y graficar la función rápidamente. Las últimas dos gráficas están ahí para que puedas experimentar con tus propias funciones racionales y comprobar tus teorías.

1.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

2.

$y = \frac{x}{(x + 2) (x - 3)}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

3.

$y = \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

4.

$y = \frac{3 x - 1}{x + 4}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

5.

$y = \frac{x^{2} - 3 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

6.

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

7.

Tu propia función racional:

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

8.

Tu propia función racional:

Grado del numerador:

Grado del denominador:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Intersecciones con los ejes:

¿Listo para más?

Compara las gráficas de las funciones $y = \frac{3 x + 5}{x + 2}$ y $y = 3 - \frac{1}{x + 2}$ . Explica en qué se parecen y en qué se diferencian.

Aprendizajes

Nuestras conclusiones finales:

Cómo encontrar la asíntota vertical:

Cómo encontrar la asíntota horizontal:

Cómo encontrar las intersecciones con los ejes:

Grado del numerador $<$ Grado del denominador

Intersección con el eje $x$ :

Intersección con el eje $y$ :

Grado del numerador $=$ Grado del denominador

Vocabulario

función racional
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a identificar las asíntotas horizontales y verticales de una función racional comparando el grado del numerador con el grado del denominador. Las asíntotas verticales se ubican donde la función no está definida, y la asíntota horizontal describe el comportamiento final de la función. Encontrar las intersecciones es igual que con otras funciones que conocemos, pero hay métodos más eficientes con las funciones racionales.

Repaso

1.

Suma $\frac{5}{21} + \frac{9}{14}$ . Explica cada paso que debes hacer para sumar las dos fracciones.

2.

Reescribe $\frac{24}{32}$ . Explica el proceso y justifica cada paso.