Lección 4 ¿Eres racional? Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Selecciona los números que son números racionales.

A.

$3$

B.

$- 5$

C.

$\frac{2}{3}$

D.

$\frac{20}{3}$

E.

$14$

F.

$2.7$

G.

$\sqrt{5}$

H.

$2^{3}$

I.

$3^{- 3}$

J.

$\log_{2} 9$

K.

$\frac{7}{0}$

2.

Escribe tu definición de un número racional.

3.

Escribe dos ejemplos de funciones racionales.

4.

Compara funciones racionales y números racionales. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

Focos de aprendizaje

Escribir expresiones racionales equivalentes.

Encontrar las características de las funciones racionales en las que el grado del numerador es 1 más que el grado del denominador.

¿Cómo es la gráfica de una función racional si la función tiene factores comunes en el numerador y en el denominador?

¿Cómo es la gráfica de una función racional si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La definición formal de una función racional es la siguiente:

Una función $f (x)$ se llama función racional si y solo si se puede escribir en la forma $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ , en donde $P$ y $Q$ son polinomios en $x$ , y $Q$ no es el polinomio cero.

Cuando trabajamos anteriormente con polinomios, era útil establecer conexiones entre polinomios y números enteros. En esta actividad, usaremos conexiones entre números racionales, expresiones racionales y funciones racionales para ayudarnos a pensar en operaciones con expresiones racionales y funciones racionales.

Vamos a comenzar usando lo que sabemos sobre números racionales para realizar operaciones con expresiones racionales. Lo primero que tenemos que hacer es cancelar los factores comunes del numerador y el denominador. Esta operación cambia la forma del número o de la expresión, pero no cambia el valor. Por ejemplo, se puede cancelar el factor común $2$ en el numerador y el denominador de $\frac{2}{4}$ , y se obtiene $\frac{1}{2}$ , pero estas son solo dos formas diferentes de expresar la misma cantidad, como muestra el diagrama.

1.

Completa las partes que faltan de las fracciones o las celdas vacías en la tabla. Comienza en la parte superior de cada problema y avanza un paso a la vez.

	A	B	C
Dado:	$\frac{24}{30}$	$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 4}$	$\frac{x^{2} + 8 x + 15}{x^{2} + 9 x + 18}$
Busca factores comunes:	$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 5}$	$\frac{}{(x + 2) (x - 2)}$
Cancela los factores comunes del numerador y el denominador:	$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 5}$
Escribe una expresión equivalente:	$\frac{4}{5}$	$\frac{x - 3}{x - 2}$	$\frac{x + 5}{x + 6}$

2.

¿Por qué al cancelar los factores comunes del numerador y el denominador se mantiene igual el valor de la expresión?

3.

Si te dieran la expresión $\frac{x}{x^{2} - 1}$ , ¿sería equivalente si se reescribiera así: $\frac{x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1}$ ?

Explica tu respuesta.

Para graficar funciones racionales, anteriormente aprendimos a predecir las asíntotas verticales y horizontales, y a encontrar las intersecciones con los ejes.

4.

Dado $f (x) = \frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 4}$ , predice las asíntotas verticales y horizontales y encuentra las intersecciones con los ejes.

5.

Usa tecnología para ver la gráfica. ¿Tus predicciones fueron correctas? ¿Qué ocurre en la gráfica en $x = - 2$ ?

En una fracción, a veces el numerador es mayor que el denominador. Una expresión racional es similar, excepto que en vez de comparar el valor numérico del numerador y el denominador, la comparación se basa en el grado de cada polinomio.

Como recordarás, las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se pueden reescribir en una forma equivalente llamada número mixto. Si el numerador es mayor que el denominador, dividimos el numerador entre el denominador y escribimos el residuo como una fracción. En términos matemáticos diríamos:

Si $a > b$ , entonces la fracción $\frac{a}{b}$ se puede reescribir como $\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}$ , en donde $q$ representa el cociente y $r$ representa el residuo.

6.

Reescribe cada fracción como un número mixto equivalente.

a.

$\frac{37}{5} =$

b.

$\frac{150}{12} =$

Las expresiones racionales funcionan de la misma manera. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el numerador se puede dividir entre el denominador y el residuo se escribe como una fracción. En términos matemáticos, diríamos:

$\frac{a (x)}{b (x)} = q (x) + \frac{r (x)}{b (x)}$ , en donde $q (x)$ representa el cociente y $r (x)$ representa el residuo. Esto es lo mismo que hicimos al dividir polinomios cuando escribimos afirmaciones de multiplicación equivalentes, solo que en este caso comenzamos con el problema escrito como una fracción, no con una división larga.

Reescribe cada expresión en una forma equivalente dividiendo el numerador entre el denominador y escribiendo el residuo como una fracción.

7.

$\frac{x^{2} + 5 x + 7}{x + 2}$

8.

$\frac{x^{2} + 2 x + 5}{x + 3}$

En la lección anterior, cuando vimos las gráficas de funciones racionales, no consideramos el caso cuando el grado del numerador de la fracción es mayor que el del denominador. Por tanto, demos un vistazo más de cerca a la función racional del problema 7.

9.

Sea $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 7}{x + 2}$ . ¿Dónde esperas que estén la asíntota vertical y las intersecciones con los ejes?

10.

Usa tecnología para graficar la función del problema 9. Relaciona la gráfica de la función con la expresión equivalente que escribiste. ¿Qué observas acerca del comportamiento final?

11.

Intentemos lo mismo con el problema 8. Sea $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x + 3}$ . Encuentra la asíntota vertical, las intersecciones con los ejes y luego relaciona el comportamiento final de la gráfica con la expresión equivalente de $f (x)$ .

12.

A partir de los ejemplos de los problemas 10 y 11, escribe un proceso para predecir las gráficas de funciones racionales cuando el grado del numerador es 1 más que el grado del denominador.

¿Listo para más?

¿Cómo describirías el comportamiento final de la función racional $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ ?

Aprendizajes

Cómo escribir formas equivalentes para expresiones racionales:

Cuando una función racional tiene un factor común en el numerador y el denominador:

Cuando el grado del numerador es 1 más que el grado del denominador:

Vocabulario

asíntota inclinada
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que se pueden encontrar expresiones equivalentes para expresiones racionales cuando hay factores comunes en el numerador y el denominador (tal como sucede con los números racionales). Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, aprendimos que se puede escribir una expresión racional equivalente dividiendo el numerador entre el denominador. Cuando esta operación se hace en una función racional, el cociente indica el comportamiento final o asíntota inclinada de la función.

Repaso

1.

Encuentra las raíces y el dominio de $f (x)$ y $g (x)$ .

a.

$f (x) = (x + 9) (x - 4) (x + 2)$

b.

$g (x) = \frac{1}{(x + 9) (x - 4) (x + 2)}$

2.

Encuentra el dominio de $h (x)$ . Luego, escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales. $h (x) = \frac{(x + 5)}{(x + 6) (x - 3)}$