Lección 4 ¿Eres racional? Consolido lo que aprendí

Prepárate

Encuentra las raíces y el dominio de cada función.

1.

$f (x) = (x + 5) (x - 2) (x - 7)$

2.

$g (x) = x^{2} + 7 x + 6$

3.

$k (x) = \frac{1}{(x + 5) (x - 2) (x - 7)}$

4.

$h (x) = \frac{1}{(x^{2} + 7 x + 6)}$

5.

Observa las raíces de los polinomios de los problemas 1 y 2. ¿Qué te dicen acerca de las gráficas de los recíprocos de los polinomios representados en $k (x)$ y $h (x)$ ? Explica.

6.

Observa las intersecciones con el eje $y$ de los polinomios de los problemas 1 y 2. ¿Qué te dicen acerca de las intersecciones con el eje $y$ de las funciones de los problemas 3 y 4? Explica.

7.

Las funciones racionales son necesarias porque las funciones polinómicas no son cerradas con respecto a la división. Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinómicas o

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ , en donde $q (x) \neq 0$ . Sabemos que los valores de $x$ que hacen que $q (x) = 0$ no están en el dominio de $f (x)$ . ¿Es posible que $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ sea igual a $0$ ? Justifica tu respuesta.

Alístate

Para cada función, indica cuál es el grado del numerador y el del denominador.

8.

$f (x) = \frac{(x + 5) (x - 2) (x - 7)}{(x + 9) (x - 6)}$

9.

$g (x) = \frac{(5 x + 8) (x - 4)}{(3 x + 9) (x)}$

10.

$h (x) = \frac{(6 x + 7) (x - 4)}{(3 x + 9) (x) (x^{2})}$

11.

En los problemas del 8 al 10, ¿qué funciones tienen una asíntota horizontal en $y = 0$ ?

Escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales de las siguientes funciones. Indica si la gráfica de la función tiene un hueco (punto sin relleno) en vez de una asíntota vertical.

12.

$f (x) = \frac{9 x^{2} + 30 x + 25}{3 x^{2} + 5 x}$

13.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$

14.

$f (x) = \frac{36 x^{2} - 49}{x^{2} - 14 x + 49}$

Usa división larga para reescribir la función racional en una forma equivalente que muestre la asíntota inclinada. Luego, escribe la ecuación de la asíntota inclinada.

15.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 4}{x - 1}$

16.

$g (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 5}{x - 4}$

17.

$h (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

¡Vamos!

Indica el dominio de las siguientes funciones racionales, escribe la ecuación de la asíntota vertical y dibújala en la gráfica. Pon un círculo vacío en la gráfica en cualquier lugar que no esté definida.

18.

$y = \frac{(x - 2)}{(x - 2) (x + 5)}$

a.

dominio:

b.

asíntota vertical:

c.

19.

$y = \frac{(x + 6)}{(x - 4) (x + 6)}$

a.

dominio:

b.

asíntota vertical:

c.

20.

$y = \frac{(x - 7) (x + 10)}{(x + 10) (x - 3) (x - 7)}$

a.

dominio:

b.

asíntota vertical: