Lección 2 Desplazar y ampliar Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Grafica cada función:

1.

$y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2}$

2.

$y = - {(x + 2)}^{3} - 1$

3.

$y = \log_{2} (x - 1)$

Focos de aprendizaje

Transformar la gráfica de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Escribir ecuaciones a partir de gráficas.

Predecir las asíntotas horizontales y verticales de una función a partir de la ecuación.

¿Qué otras funciones se pueden crear a partir de $f (x) = \frac{1}{x}$ ? ¿Cómo se verán sus gráficas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección anterior conociste la función $f (x) = \frac{1}{x}$ . Antes de explorar la familia de funciones relacionadas, aclaremos algunas de las características de $f (x) = \frac{1}{x}$ que pueden ayudar con su representación gráfica.

1.

Usa la gráfica de $f (x) = \frac{1}{x}$ para identificar cada una de las siguientes características:

Asíntota horizontal:

Asíntota vertical:

Puntos guía:

$(1, \underset{―}{})$ y $(- 1, \underset{―}{})$

$(\frac{1}{2}, \underset{―}{})$ y $(- \frac{1}{2}, \underset{―}{})$

$(2, \underset{―}{})$ y $(- 2, \underset{―}{})$

Ahora estás listo para usar esta información y averiguar cómo se puede transformar la gráfica de $f (x) = \frac{1}{x}$ . A medida que respondes los siguientes problemas, busca patrones que puedas generalizar para describir las transformaciones de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

En cada uno de los siguientes problemas, tienes una gráfica o una descripción de una función que es una transformación de $f (x) = \frac{1}{x}$ . Usa tus asombrosas habilidades matemáticas para encontrar una ecuación de cada problema.

2.

Ecuación:

3.

Ecuación:

4.

La función tiene una asíntota vertical en $x = - 3$ y una asíntota horizontal en $y = 0$ . Contiene los puntos $(- 2, 1)$ y $(- 4, - 1)$ . La intersección con el eje $y$ es $(0, \frac{1}{3})$ .

Ecuación:

5.

Ecuación:

6.

La función tiene una asíntota vertical en $x = 0$ y una asíntota horizontal en $y = 0$ . Contiene los puntos $(1, 2)$ , $(- 1, - 2)$ , $(2, 1)$ , $(- 2, - 1)$ , $(\frac{1}{2}, 4)$ y $(\frac{- 1}{2}, - 4)$ .

Ecuación:

7.

Ecuación:

8.

Ecuación:

9.

La función tiene una asíntota vertical en $x = - 6$ y una asíntota horizontal en $y = - 3$ . Se cruza con el eje $x$ en $- 6 \frac{1}{3}$ . Contiene los puntos $(- 5, - 4)$ y $(- 7, - 2)$ .

Ecuación:

10.

___
$y = \frac{1}{x + b}$
___
$y = b + \frac{1}{x}$
___
$y = \frac{b}{x}$
___
$y = \frac{- 1}{x}$
___
$y = \frac{1}{x - b}$

Reflexión sobre el eje $x$ .
Desplazamiento vertical de $b$ unidades, que hace a la asíntota horizontal $y = b$ .
Desplazamiento horizontal a la izquierda $b$ unidades, que hace a la asíntota vertical $x = - b$ .
Ampliación vertical por un factor de $b$ .
Desplazamiento horizontal a la derecha $b$ unidades, que hace a la asíntota vertical $x = b$ .

11.

Grafica cada una de las siguientes ecuaciones sin usar tecnología.

a.

$y = 1 - \frac{1}{x + 3}$

b.

$y = - 2 + \frac{3}{x - 4}$

12.

Describe las características de la función $f (x) = k + \frac{b}{x - h}$

Asíntota vertical:

Asíntota horizontal:

Factor de ampliación vertical:

Dominio:

Rango:

¿Listo para más?

Ya nombraste las asíntotas y otras características de $f (x) = k + \frac{b}{x - h}$ . Ahora intenta nombrar los puntos guía de la función.

Aprendizajes

Transformaciones de $f (x) = \frac{1}{x}$

Intenta una más: $f (x) = 3 - \frac{2}{x + 1}$

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a graficar funciones que son transformaciones de $f (x) = \frac{1}{x}$ . Aprendimos que estas transformaciones funcionan igual que en otras funciones básicas: al cambiar las entradas se producen desplazamientos horizontales, y al cambiar las salidas se producen desplazamientos y ampliaciones o reducciones verticales. A partir de estas ideas, también escribimos ecuaciones que corresponden a gráficas y generalizamos cada parte de la ecuación en la forma: $f (x) = k + \frac{b}{x - h}$ .

Repaso

1.

Encuentra el dominio de $f (x) = \frac{1}{(x - 7) (x + 5) (x + 9)}$ .

2.

Encuentra todas las raíces de $g (x) = x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ , dado que $x = - 5$ es una raíz de $g (x)$ . Después escribe $g (x)$ en forma factorizada.

Raíces:

Forma factorizada: