Lección 3Números racionales e irracionales

Objetivo de aprendizaje

Aprendamos sobre números irracionales.

Metas de aprendizaje

Sé qué es un número irracional y puedo dar un ejemplo.
Sé qué es un número racional y puedo dar un ejemplo.

Términos de la lección

número irracional
número racional
raíz cuadrada

Calentamiento: Conversación algebraica: soluciones positivas

Encuentra una solución positiva para cada ecuación:

$x^{2} = 36$
$x^{2} = \frac{9}{4}$
$x^{2} = \frac{1}{4}$
$x^{2} = \frac{49}{25}$

Actividad 1: Tres cuadrados

Dibuja 3 cuadrados de diferentes tamaños con vértices alineados a los vértices de la cuadrícula.
Para cada cuadrado:
- Etiqueta el área.
- Etiqueta la longitud de lado.
- Escribe una ecuación que muestre la relación entre la longitud de lado y el área.

Actividad 2: Busquemos una solución

¿Alguno de estos números es una solución de la ecuación $x^{2} = 2$ ? Explica tu razonamiento.

1
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{7}{5}$

Actividad 3: Busquemos $\sqrt{2}$

Un número racional es una fracción o su opuesto (o cualquier número equivalente a una fracción o su opuesto).

Encuentra más números racionales que estén cerca de $\sqrt{2}$ .
¿Puedes encontrar un número racional que sea exactamente $\sqrt{2}$ ?

¿Estás listo para más?

Si tienes una calculadora antigua, evalúa la expresión: ${(\frac{577}{408})}^{2}$ Te dirá que la respuesta es 2, lo que podría llevarte a pensar que $\sqrt{2} = \frac{577}{408}$ .

Explica por qué es sospechoso el resultado de la calculadora.
Encuentra una explicación de por qué $408^{2} \cdot 2$ no podría ser igual a $577^{2}$ . ¿Cómo muestra esto que ${(\frac{577}{408})}^{2}$ no podría ser igual a 2?
Repite estas preguntas para ${(\frac{1414213562375}{10000000000000})}^{2} \neq 2,$ una ecuación en la que incluso muchas calculadoras y computadoras modernas se equivocarán.

Resumen de la lección

En una actividad previa, aprendimos que la notación de la raíz cuadrada se usa para escribir la longitud de lado de un cuadrado dada su área. Por ejemplo, un cuadrado cuya área es 2 unidades cuadradas tiene un lado de longitud de $\sqrt{2}$ unidades, lo que significa que $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2.$

Un cuadrado cuya área es 25 unidades cuadradas tiene una longitud de lado de $\sqrt{25}$ unidades, lo que significa que $\sqrt{25} \cdot \sqrt{25} = 25.$ Dado que $5 \cdot 5 = 25$ , sabemos que $\sqrt{25} = 5.$

$\sqrt{25}$ es un ejemplo de un número racional. Un número racional es una fracción o su opuesto. Recuerda que una fracción $\frac{a}{b}$ es un punto en la recta numérica que se encuentra al dividir el segmento desde 0 a 1 en $b$ intervalos iguales y desplazarse $a$ de esos intervalos a la derecha desde 0. Siempre podemos escribir una fracción de la forma $\frac{a}{b}$ , donde $a$ y $b$ son números enteros (y $b$ no es 0), pero hay otras formas de escribirlos. Por ejemplo, podemos escribir $\sqrt{25} = \frac{5}{1}$ . Primero aprendiste sobre fracciones en grados anteriores y, en ese momento, probablemente no conocías los números negativos. Los números racionales son fracciones, pero pueden ser positivos o negativos. Entonces, -5 es también un número racional. Debido a que las fracciones y las razones son ideas estrechamente relacionadas, las fracciones y sus opuestos se denominan números racionales.

Estos son algunos ejemplos de números racionales: $\frac{7}{4}, 0, \frac{6}{3}, 0.2, - \frac{1}{3}, - 5, \sqrt{9}, - \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}$ ¿Puedes ver por qué son ejemplos de “una fracción o su opuesto”?

Un número irracional es un número que no es racional. Es decir, es un número que no es una fracción o su opuesto. $\sqrt{2}$ es un ejemplo de un número irracional. Tiene una ubicación en la recta numérica, la cual puede aproximarse mediante números racionales (está justo a la derecha de $\frac{7}{5}$ ); sin embargo, $\sqrt{2}$ no se puede encontrar en una recta numérica al dividir el segmento de 0 a 1 en $b$ partes iguales y desplazarse $a$ de esas partes a un lado de 0 (si $a$ y $b$ son números enteros).

$\frac{17}{12}$ también está cerca de $\sqrt{2}$ , porque ${(\frac{17}{12})}^{2} = \frac{289}{144}$ . El número $\frac{289}{144}$ está muy cerca de 2, ya que $\frac{288}{144} = 2$ . Pero podríamos seguir buscando por siempre soluciones para $x^{2} = 2$ que sean números racionales y no encontraríamos ninguna. ¡ $\sqrt{2}$ no es un número racional! Es irracional.

En tus estudios futuros, es posible que tengas la oportunidad de comprender o escribir una demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, pero por ahora simplemente demos por hecho que $\sqrt{2}$ es irracional. De manera similar, la raíz cuadrada de cualquier número entero o es un número entero ( $\sqrt{36} = 6$ , $\sqrt{64} = 8$ , etc.) o es un número irracional ( $\sqrt{17}$ , $\sqrt{65}$ , etc.). Estos son algunos otros ejemplos de números irracionales: $\sqrt{10}, - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{5}}{2}, π$

Lección 3Números racionales e irracionales

Objetivo de aprendizaje

Metas de aprendizaje

Términos de la lección

Calentamiento: Conversación algebraica: soluciones positivas

Problema 1

Actividad 1: Tres cuadrados

Problema 1

Actividad 2: Busquemos una solución

Problema 1

Actividad 3: Busquemos 2

Problema 1

¿Estás listo para más?

Problema 1

Resumen de la lección

Actividad 3: Busquemos $\sqrt{2}$