Lección 6Una demostración del teorema de Pitágoras

Objetivo de aprendizaje

Demostremos el teorema de Pitágoras.

Metas de aprendizaje

  • Cuando tengo un triángulo rectángulo, puedo identificar cuál lado es la hipotenusa y cuáles lados son los catetos.

  • Puedo explicar por qué el teorema de Pitágoras es verdadero.

  • Si conozco las longitudes de dos lados, puedo hallar la longitud del tercer lado de un triángulo rectángulo.

Términos de la lección

  • catetos
  • hipotenusa
  • teorema de Pitágoras

Calentamiento: Observa y pregúntate: un cuadrado y cuatro triángulos

Problema 1

¿Que observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Sumemos áreas

Problema 1

Las dos figuras que se muestran a continuación son cuadrados con una longitud de lado de . Observa que la primera figura se divide en dos cuadrados y dos rectángulos. La segunda figura está dividida en un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos con catetos de longitud y . Llamemos a la hipotenusa de estos triángulos .

  1. ¿Cuál es el área total de cada figura?

  2. Encuentra el área de cada una de las 9 regiones más pequeñas que se muestran en las figuras y márcalas sobre el dibujo.

  3. Suma el área de las cuatro regiones de la figura F y suma el área de las cinco regiones de la figura G. Plantea una ecuación igualando estas dos expresiones. Si reescribes esta ecuación usando la menor cantidad de términos posible, ¿qué obtienes?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Toma un triángulo rectángulo con lados de longitud 3, 4 y 5. Agrega a cada lado un cuadrado con esa longitud de lado y forma un hexágono que una los vértices de los cuadrados, como en la imagen. ¿Cuál es el área de este hexágono?

Actividad 2: Hallemos longitudes de lado desconocidas

Problema 1

  1. Halla .

  2. Halla .

  3. Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitud 2.4 cm y 6.5 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

  4. Un triángulo rectángulo tiene un lado de longitud y una hipotenusa de longitud . ¿Cuál es la longitud del otro lado?

  5. Halla el valor de en la figura.

¿Estás listo para más?

Problema 1

El espiral que se muestra en la figura está hecho comenzando con un triángulo rectángulo que tiene ambos catetos de longitud una unidad. Luego, se construye un segundo triángulo rectángulo que tiene un cateto de longitud una unidad y el otro cateto es la hipotenusa del primer triángulo. Se construye un tercer triángulo rectángulo sobre la hipotenusa del segundo triángulo, y nuevamente su otro cateto tiene una longitud de una unidad, y así sucesivamente.

Halla la longitud, , de la hipotenusa del último triángulo construido en la figura.

Actividad 3: Una demostración con transformaciones

Problema 1

Usa los applets para explorar la relación entre áreas.

  • Considera los cuadrados y .

  • Marca la casilla para ver el área dividida en cinco partes con dos segmentos.

  • Marca la casilla para ver las piezas.

  • Organiza las cinco piezas para que quepan dentro del cuadrado .

  • Marca la casilla para ver el triángulo rectángulo.

  1. Organiza las figuras para que los cuadrados sean adyacentes a los lados del triángulo.

  2. Si el triángulo rectángulo tiene catetos y e hipotenusa , ¿qué has demostrado que es verdadero?

  3. Inténtalo de nuevo con diferentes cuadrados. Calcula las áreas de los nuevos cuadrados, , y , y explica lo que observas.

  4. Calcula las áreas de estos nuevos cuadrados , y , y luego explica lo que observas a medida que completas la actividad.

  5. ¿Qué crees que podemos concluir?

versión impresa

El profesor dará a tu grupo una hoja con 4 figuras y un grupo de 5 figuras recortadas y marcadas como D, E, F, G y H.

  1. Organiza las 5 figuras recortadas para que quepan dentro de la figura 1. Verifica que las piezas también encajen en los dos cuadrados más pequeños de la figura 4.

  2. Explica cómo puedes transformar las piezas organizadas en la figura 1 para hacer una copia exacta de la figura 2.

  3. Explica cómo puedes transformar las piezas organizadas en la figura 2 para hacer una copia exacta de la figura 3.

  4. Verifica que la figura 3 sea congruente con el cuadrado grande de la figura 4.

  5. Si el triángulo rectángulo en la figura 4 tiene catetos y e hipotenusa , ¿qué acabas de demostrar que es verdadero?

Resumen de la lección

Las figuras que se muestran a continuación se pueden usar para ver por qué el teorema de Pitágoras es verdadero. Ambos cuadrados grandes tienen la misma área pero están divididos de maneras diferentes (¿puedes ver dónde están ubicados los triángulos del cuadrado en el cuadrado ?, ¿qué quiere decir eso con respecto a los cuadrados que están dentro de y ?). Cuando se establece que la suma de las áreas de las 4 partes del cuadrado es igual a la suma de las áreas de las 5 partes del cuadrado , el resultado es que , donde es la hipotenusa de los triángulos del cuadrado y también la longitud de lado del cuadrado que se encuentra en el centro. ¡Inténtalo!

Hay muchos ejemplos en los que se conocen las longitudes de los dos catetos de un triángulo rectángulo y se pueden utilizar para hallar la longitud de la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras también se puede utilizar si conocemos la hipotenusa y un cateto y queremos hallar la longitud del otro cateto. Este es un triángulo rectángulo en el que un cateto tiene una longitud de 5 unidades, la hipotenusa tiene una longitud de 10 unidades y la longitud del otro cateto está representada por .

Comienza con , reemplaza los valores y resuelve para encontrar el valor desconocido. Recuerda que representa la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Para este triángulo, la hipotenusa es 10.

Usando estrategias de estimación, te darás cuenta de que la longitud del otro cateto está entre 8 y 9 unidades, ya que 75 está entre 64 y 81. Una calculadora que tenga la función de raíz cuadrada da como resultado .