Lección 4Raíces cuadradas en la recta numérica

Objetivo de aprendizaje

Aproximemos las raíces cuadradas.

Metas de aprendizaje

Cuando tengo una raíz cuadrada, puedo razonar entre cuáles números enteros está.
Puedo encontrar una aproximación decimal de una raíz cuadrada.
Puedo ubicar raíces cuadradas en la recta numérica.

Términos de la lección

número racional
raíz cuadrada

Calentamiento: Diagonales

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Elevemos rectas al cuadrado

Problema 1

Estima la longitud del segmento de recta aproximándola a la décima de unidad más cercana (el área de cada cuadrado de la cuadrícula es 1 unidad cuadrada).

Problema 2

Encuentra la longitud exacta del segmento.

Actividad 2: Raíz cuadrada de 3

Diego dijo que él piensa que $\sqrt{3} \approx 2.5$ .

Usa el cuadrado para explicar por qué 2.5 no es una buena aproximación de $\sqrt{3}$ . Encuentra un punto en la recta numérica que esté más cerca de $\sqrt{3}$ . Dibuja un nuevo cuadrado en los ejes y utilízalo para explicar cómo sabes que el punto que ubicaste es una buena aproximación para $\sqrt{3}$ .
Usa el hecho de que $\sqrt{3}$ es una solución de la ecuación $x^{2} = 3$ para encontrar una aproximación decimal de $\sqrt{3}$ cuyo cuadrado está entre 2.9 y 3.1.

¿Estás listo para más?

Un agricultor tiene un terreno cubierto de césped encerrado por una cerca en forma de un cuadrado con una longitud de lado de 4 metros. Para convertirlo en un hogar adecuado para algunos animales, el granjero quisiera delimitar un cuadrado más pequeño para llenarlo con agua, como se muestra en la figura.

¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado más pequeño para que la mitad del área sea césped y la mitad agua?

Actividad 3: Soluciones en una recta numérica

Los números $x$ , $y$ y $z$ son positivos, y $x^{2} = 3$ , $y^{2} = 16$ y $z^{2} = 30$ .

Grafiquen $x$ , $y$ y $z$ en la recta numérica. Prepárense para compartir su razonamiento con la clase.
Grafiquen $- \sqrt{2}$ en la recta numérica.

Resumen de la lección

Este es un segmento de recta en una cuadrícula. ¿Cuál es la longitud de este segmento de recta?

Al dibujar algunos círculos, podemos darnos cuenta de que mide más de 2 unidades pero menos de 3 unidades.

Para encontrar el valor exacto de la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él, usando el segmento como uno de los lados del cuadrado.

El área de este cuadrado es 5 unidades cuadradas (¿puedes ver por qué?). Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado es $\sqrt{5}$ unidades.

Observa que 5 es mayor que 4 pero menor que 9. Eso significa que $\sqrt{5}$ es mayor que 2 pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.

En general, podemos aproximar los valores de las raíces cuadradas observando los números enteros que están cerca y recordando la relación entre las raíces cuadradas y los cuadrados. Estos son algunos ejemplos:

$\sqrt{65}$ es un poco más que 8, porque $\sqrt{65}$ es un poco más que $\sqrt{64}$ y $\sqrt{64} = 8$ .
$\sqrt{80}$ es un poco menos que 9, porque $\sqrt{80}$ es un poco menos que $\sqrt{81}$ y $\sqrt{81} = 9$ .
$\sqrt{75}$ esta entre 8 y 9 (es 8 punto algo), porque 75 está entre 64 y 81.
$\sqrt{75}$ es aproximadamente 8.67, porque ${8.67}^{2} = 75.1689$ .

Si queremos encontrar una raíz cuadrada entre dos números enteros, podemos trabajar en la otra dirección. Por ejemplo, dado que $22^{2} = 484$ y $23^{2} = 529$ , sabemos que $\sqrt{500}$ (por dar un ejemplo) está entre 22 y 23.

Muchas calculadoras tienen una función de raíz cuadrada, lo que facilita encontrar un valor aproximado de una raíz cuadrada.