Lección 5Circunferencia y ruedas

Objetivo de aprendizaje

Exploremos qué tan lejos ruedan distintas ruedas.

Meta de aprendizaje

Si conozco el radio o el diámetro de una rueda, puedo hallar la distancia que recorre la rueda en cierto número de revoluciones.

Términos de la lección

círculo
circunferencia
diámetro
pi (π)
radio

Calentamiento: Una cuerda y una rueda

Han dice que es posible enrollar una cuerda de 5 pies de largo alrededor de una rueda que tiene un diámetro de 2 pies porque $\frac{5}{2}$ es menor que pi. ¿Estás de acuerdo con Han? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Rueda, rueda, rueda

Tu profesor te dará un objeto circular.

Sigue estas instrucciones para hacer el dibujo:
- En una hoja de papel aparte, dibuja una recta con una regla a lo largo de toda la hoja.
- Haz rodar tu objeto a lo largo de la recta y marca el lugar donde completa una rotación.
- Utiliza tu objeto para dibujar marcas a lo largo de la recta que estén separadas por una distancia igual al diámetro de tu objeto.
¿Qué observas?
Utiliza tu regla para medir cada distancia. Anota estos valores en la primera fila de la tabla:
- el diámetro de tu objeto
- qué tan lejos rodó tu objeto en una rotación completa
- el cociente de qué tan lejos rodó tu objeto dividido entre el diámetro de tu objeto
objeto
diámetro
distancia recorrida
en una rotación
$distancia \div diámetro$
Si quisieras trazar dos rotaciones completas de tu objeto, ¿qué tan larga necesitarías que fuera tu recta?
Comparte tus resultados con tu grupo y anota sus medidas en la tabla.
Si cada persona de tu grupo hiciera rodar su objeto a lo largo de toda la longitud del salón, ¿cuál objeto completaría el mayor número de rotaciones? Explica o muestra tu razonamiento.

Actividad 2: Rotaciones y distancia

Problema 1

Una llanta de un automóvil tiene un diámetro de 20.8 pulgadas.

¿Aproximadamente qué tan lejos se desplaza la llanta del automóvil en 1 rotación?, ¿5 rotaciones?, ¿30 rotaciones?
Escribe una ecuación que relacione la distancia que recorre el automóvil en pulgadas, $c$ , con el número de rotaciones de la llanta, $x$ .
¿Aproximadamente, cuántas rotaciones hace la llanta cuando el automóvil recorre 1 milla? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Una llanta de una bicicleta tiene un radio de 13 pulgadas.

¿Aproximadamente qué tan lejos se desplaza la llanta de la bicicleta en 1 rotación?, ¿5 rotaciones?, ¿30 rotaciones?
Escribe una ecuación que relacione la distancia que recorre la bicicleta en pulgadas, $b$ , con el número de rotaciones de la llanta, $x$ .
¿Aproximadamente, cuántas rotaciones hace la llanta de la bicicleta cuando la bicicleta recorre 1 milla? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Estas son unas fotos de un resorte de juguete.

Si pudieras estirar el resorte para que quedara completamente recto, ¿qué tan largo sería? Explica o muestra tu razonamiento.

Actividad 3: Rotaciones y rapidez

La circunferencia de la llanta de un automóvil mide alrededor de 65 pulgadas.

Si la llanta del automóvil rota una vez por cada segundo, ¿qué tan lejos se desplaza el automóvil en un minuto?
Si la llanta del automóvil rota una vez por cada segundo, ¿aproximadamente cuántas millas recorre el automóvil en una hora?
Si la llanta del automóvil rota 5 veces por cada segundo, ¿aproximadamente cuántas millas recorre el automóvil en una hora?
Si el automóvil recorre 65 millas por cada hora, ¿aproximadamente cuántas veces por segundo rota la llanta?

Resumen de la lección

La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del círculo. Esta también es qué tan lejos rueda el círculo sobre una superficie plana en una rotación. Por ejemplo, una llanta de una bicicleta que tiene un diámetro de 24 pulgadas tiene una circunferencia de $24 π$ pulgadas y rodará $24 π$ pulgadas (o $2 π$ pies) en una rotación completa. Hay una ecuación que relaciona al número de rotaciones de la llanta con la distancia que ha recorrido. Para ver por qué, miremos la tabla que muestra qué tan lejos se desplaza la bicicleta cuando la llanta realiza distintos números de rotaciones.

número de rotaciones	distancia recorrida (pies)
$1$	$2 π$
$2$	$4 π$
$3$	$6 π$
$10$	$20 π$
$50$	$100 π$
$x$	$?$

En la tabla, vemos que la relación que hay entre la distancia recorrida y el número de rotaciones de la llanta es una relación proporcional. La constante de proporcionalidad es $2 π$ . Para hallar el valor que falta en la última fila de la tabla, observa que cada rotación de la rueda contribuye en $2 π$ pies de distancia recorrida. Así que después de $x$ rotaciones, la bicicleta recorrerá $2 π x$ pies. Si $d$ es la distancia recorrida en pies, cuando esta llanta realiza $x$ rotaciones, tenemos la relación: $d = 2 π x$ .