Lección 7Exploremos el área de un círculo

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos las áreas de los círculos.

Metas de aprendizaje

  • Sé si la relación que hay entre el diámetro y el área de un círculo es proporcional o no y puedo explicar cómo lo sé.

  • Si conozco el radio o el diámetro de un círculo, puedo hallar una aproximación para su área.

Términos de la lección

  • área de un círculo

Calentamiento: Estimemos áreas

Problema 1

Tu profesor te mostrará algunas figuras. Decide cuál figura tiene la mayor área. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Actividad 1: Estimemos áreas de círculos

Problema 1

Tu profesor le dará a tu grupo dos círculos de tamaños diferentes.

  1. Fija el diámetro de tu círculo asignado y utiliza el applet para ayudarte a estimar el área del círculo.

    Nota: para crear un polígono, selecciona la herramienta “Polígono” y haz clic sobre cada vértice. Termina haciendo clic sobre el primer vértice nuevamente. Por ejemplo, para dibujar el triángulo , haz clic sobre ---.

  2. Registra el diámetro en la columna y el área correspondiente en la columna para tus círculos y los círculos de tus compañeros de clase.

    open applet in presentation mode

  3. En una lección anterior, ustedes graficaron la relación que había entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. ¿En qué se parece a esta gráfica? ¿En qué se diferencia?

versión impresa

Tu profesor le dará a tu grupo dos círculos de tamaños diferentes.

  1. Para cada círculo, utilicen los cuadrados del papel cuadriculado para medir el diámetro y estimar el área del círculo. Anoten sus medidas en esta tabla.

    diámetro (cm)

    área estimada (cm)

  2. Ubiquen los valores de la tabla en el plano de coordenadas. Después grafiquen los puntos de datos de la clase en su plano de coordenadas.

  3. En una lección anterior, ustedes graficaron la relación que había entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. ¿En qué se parece a esta gráfica? ¿En qué se diferencia?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Si se te dificulta, considera utilizar monedas u otros objetos circulares.

  1. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 2 unidades de radio sin que se superpongan?

  2. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 3 unidades de radio sin que se superpongan?

  3. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 4 unidades de radio sin que se superpongan?

Actividad 2: Recubramos un círculo

Problema 1

Este es un cuadrado cuyos lados tienen la misma longitud que el radio del círculo.

¿Cuántos cuadrados crees que se necesitan para recubrir el círculo completamente?

Resumen de la lección

La circunferencia de un círculo es proporcional al diámetro y podemos escribir esta relación como . La circunferencia también es proporcional al radio del círculo y la constante de proporcionalidad es porque el diámetro es el doble de largo que el radio. Sin embargo, el área del círculo no es proporcional al diámetro (ni al radio).

El área de un círculo que tiene radio es un poco más que 3 veces el área de un cuadrado que tiene lados de longitud , así que el área de un círculo de radio es aproximadamente . Anteriormente vimos que la circunferencia de un círculo de radio es . Si llamamos a la circunferencia del círculo, esta relación proporcional se puede escribir como .

El área de un círculo de radio es aproximadamente . A diferencia de la circunferencia, el área no es proporcional al radio porque no se puede escribir como para algún número . En las siguientes lecciones, vamos a investigar y afinar la relación que hay entre el área y el radio de un círculo.