Lección 9Pongamos en práctica el área de los círculos

Objetivo de aprendizaje

Hallemos áreas de figuras formadas por círculos.

Metas de aprendizaje

Puedo calcular el área de figuras más complicadas que incluyen fracciones de círculos.
Puedo escribir respuestas exactas en términos de $π$ .

Términos de la lección

al cuadrado
área de un círculo

Calentamiento: Sigamos regando el campo

El área de este campo es aproximadamente 500,000 m². ¿Cuál es el área del campo aproximada al metro cuadrado más cercano? Supón que la longitud de los lados del cuadrado es exactamente 800 m.

502,400 m $^{2}$
502,640 m $^{2}$
502,655 m $^{2}$
502,656 m $^{2}$
502,857 m $^{2}$

Actividad 1: Comparemos áreas formadas por círculos

Problema 1

Cada cuadrado tiene lados de 12 unidades de longitud. Compara las áreas de las regiones sombreadas de las 3 figuras. ¿Qué figura tiene la región sombreada más grande? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Cada cuadrado de las figuras D y E tiene lados de 1 unidad de longitud. Compara el área de las dos figuras. ¿Cuál figura tiene más área?, ¿cuánta más? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

¿Cuál figura tiene un perímetro más largo: la figura D o la figura E? ¿Cuánto más largo?

Actividad 2: Volvamos a la pista de carreras

El campo que hay dentro de una pista de carreras está formado por un rectángulo de 84.39 m de longitud y 73 m de ancho junto con dos mitades de círculo en cada extremo. Los carriles donde se corre tienen 9.76 m de ancho por todo el rededor.

¿Cuál es el área de la pista de carreras que está alrededor del campo? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

La relación que hay entre $A$ , el área de un círculo, y $r$ , su radio, es $A = π r^{2}$ . Podemos utilizar esta relación para hallar el área de un círculo si conocemos el radio. Por ejemplo, si un círculo tiene un radio de 10 cm, entonces el área es $π \cdot 10^{2}$ o $100 π$ cm². También podemos utilizar la fórmula para hallar el radio de un círculo si conocemos el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un área de $49 π$ m², entonces su radio es 7 m y su diámetro es 14 m.

Algunas veces, en lugar de dejar a $π$ en las expresiones que representan el área, puede ser útil usar una aproximación numérica. Para los ejemplos anteriores, un círculo de radio 10 cm tiene un área de aproximadamente 314 cm². De forma similar, un círculo que tiene un área de 154 m² tiene un radio de aproximadamente 7 m.

También podemos encontrar el área de una fracción de un círculo. Por ejemplo, esta figura muestra un círculo dividido en 3 pedazos que tienen la misma área. La parte sombreada tienen un área de $\frac{1}{3} π r^{2}$ .