Lección 3Representemos relaciones proporcionales

Objetivo de aprendizaje

Grafiquemos las relaciones proporcionales.

Meta de aprendizaje

Puedo establecer la escala y marcar ejes de coordenadas para realizar la gráfica de una relación proporcional.

Términos de la lección

constante de proporcionalidad
tasa de cambio

Calentamiento: Conversación numérica: multiplicación

Encuentra mentalmente el valor de cada producto.

$15 \cdot 2$
$15 \cdot 0.5$
$15 \cdot 0.25$
$15 \cdot 2.25$

Actividad 1: Representaciones de relaciones proporcionales

Problema 1

Estas son dos maneras de representar una situación.

Descripción: Jada y Noah contaron la cantidad de pasos que dieron para caminar una distancia determinada. Para caminar la misma distancia:

Jada dio 8 pasos.
Noah dio 10 pasos.

Luego descubrieron que cuando Noah había dado 15 pasos, Jada había dado 12 pasos.

Ecuación: $x$ representa el número de pasos que da Jada y $y$ representa el número de pasos que da Noah. $y = \frac{5}{4} x$

Crea una tabla que represente esta situación con al menos 3 pares de valores.
Grafica esta relación y etiqueta los ejes.
¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?
Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

Problema 2

Estas son dos formas de representar una situación.

Descripción: el club de origami está haciendo una colecta de fondos lavando automóviles para recaudar dinero para un viaje. Cobran el mismo precio por cada automóvil. Después de lavar 11 automóviles, recaudaron un total de $93.50. Después de lavar 23 automóviles, recaudaron un total de $195.50.

Tabla:

cantidad de automóviles	cantidad recaudada en dólares
$11$	$93.50$
$23$	$195.50$

Escribe una ecuación que represente esta situación (usa $c$ para representar la cantidad de automóviles y $m$ para representar la cantidad recaudada en dólares).
Crea una gráfica que represente esta situación.
¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?
Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

Actividad 2: Falta de información: relaciones proporcionales

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de problema:

Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.
Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de datos:

Lee en silencio tu tarjeta.
Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.
Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.
Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.
Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas, intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

¿Estás listo para más?

Diez personas pueden cavar cinco agujeros en tres horas. Supongamos que $n$ personas cavando a la misma tasa cavan $m$ agujeros en $d$ horas:

¿Es $n$ proporcional a $m$ cuando $d = 3$ ?
¿Es $n$ proporcional a $d$ cuando $m = 5$ ?
¿Es $m$ proporcional a $d$ cuando $n = 10$ ?

Resumen de la lección

Las relaciones proporcionales se pueden representar de varias maneras. La representación que elijamos depende del propósito que tengamos. Cuando creamos representaciones, podemos elegir valores útiles si prestamos atención al contexto. Por ejemplo, una receta de estofado recomienda 3 zanahorias por cada 2 papas. Una forma de representar esto es usar una ecuación. Si hay $p$ papas y $c$ zanahorias, entonces $c = \frac{3}{2} p$ .

Supongamos que queremos hacer gran cantidad de esta receta para una reunión familiar, usando 150 papas. Para encontrar el número de zanahorias, podríamos simplemente usar la ecuación: $\frac{3}{2} \cdot 150 = 225$ zanahorias.

Ahora supongamos que la receta se usa en un restaurante que hace el estofado en grandes tandas de diferentes tamaños, dependiendo de qué tan ocupado esté el día, utilizando hasta 300 papas a la vez.

número de papas	número de zanahorias
$150$	$225$
$300$	$450$
$450$	$675$
$600$	$900$

Entonces, podríamos hacer una gráfica para mostrar cuántas zanahorias se necesitan para diferentes cantidades de papas. Configuramos un par de ejes de coordenadas con una escala de 0 a 300 a lo largo del eje horizontal y de 0 a 450 en el eje vertical, porque $450 = \frac{3}{2} \cdot 300$ . Entonces podemos leer cuántas zanahorias se necesitan para cualquier número de papas hasta 300. O, si la receta se usa en una fábrica de alimentos que produce cantidades muy grandes y las papas vienen en bolsas de 150, podríamos simplemente hacer una tabla de valores que muestre la cantidad de zanahorias necesarias para diferentes múltiplos de 150.

No importa la representación o la escala utilizada, la constante de proporcionalidad, $\frac{3}{2}$ , es evidente en cada una. En la ecuación, es el número por el que multiplicamos $p$ ; en la gráfica, es la pendiente, y en la tabla, es el número por el que multiplicamos los valores en la columna de la izquierda para obtener los valores en la columna de la derecha. Podemos pensar en la constante de proporcionalidad como una tasa de cambio de $c$ con respecto a $p$ . En este caso, la tasa de cambio es de $\frac{3}{2}$ de zanahorias por cada papa.