Lección 12Soluciones de ecuaciones lineales

Objetivo de aprendizaje

Pensemos en lo que significa ser una solución de una ecuación lineal que tiene dos variables.

Metas de aprendizaje

Entiendo lo que es la solución de una ecuación en dos variables.
Sé que la gráfica de una ecuación es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación.

Términos de la lección

solución de una ecuación en dos variables

Calentamiento: Estimemos el área

¿Cuál figura tiene el área sombreada más grande?

Actividad 1: Manzanas y naranjas

En el mercado de la esquina, las manzanas cuestan $1 cada una y las naranjas cuestan $2 cada una.

Problema 1

Halla el costo de:

6 manzanas y 3 naranjas
4 manzanas y 4 naranjas
5 manzanas y 4 naranjas
8 manzanas y 2 naranjas

Problema 2

Noah tiene $10 para gastar en el mercado. ¿Puede comprar 7 manzanas y 2 naranjas? Explica o muestra tu razonamiento.
¿Qué combinaciones de manzanas y naranjas puede comprar Noah si gasta todos sus $10?
Utiliza dos variables para escribir una ecuación que represente combinaciones de manzanas y naranjas que cuesten $10. Asegúrate de decir qué significa cada variable.
¿Cuáles 3 combinaciones de manzanas y naranjas hacen que tu ecuación sea verdadera? ¿Cuáles tres combinaciones de manzanas y naranjas hacen que sea falsa?

¿Estás listo para más?

Grafica la ecuación que escribiste para relacionar el número de manzanas y el número de naranjas.
¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Cuál es el significado de la pendiente en términos del contexto?
Supongamos que Noah tiene $20 para gastar. Grafica la ecuación que describe esta situación. ¿Qué observas acerca de la relación que hay entre esta gráfica y la gráfica anterior?

Actividad 2: Soluciones y todo lo demás

Tienes dos números. Si duplicas el primer número y lo sumas al segundo número, la suma es 10.

Digamos que $x$ representa al primer número y $y$ representa al segundo número. Escribe una ecuación que muestre la relación que hay entre $x$ , $y$ y 10.
Dibuja y etiqueta un par de ejes $x$ y $y$ . Ubica por lo menos cinco puntos en este plano de coordenadas que hagan que la afirmación y tu ecuación sean verdaderas. ¿Qué observas acerca de los puntos que ubicaste?
Haz una lista de diez puntos que no hagan que la afirmación sea verdadera. Usa un color diferente para ubicar cada punto en el mismo plano de coordenadas. ¿Qué observas acerca de estos puntos en comparación con tu primer conjunto de puntos?

Resumen de la lección

Piensa en todos los rectángulos que tienen un perímetro de 8 unidades. Si $x$ representa el ancho y $y$ representa el largo, entonces la ecuación $2 x + 2 y = 8$ expresa la relación que hay entre el ancho y el largo de todos estos rectángulos.

Por ejemplo, el ancho y el largo pueden ser 1 y 3, ya que $2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 8$ ; o el ancho y el largo pueden ser 2.75 y 1.25, ya que $2 \cdot (2.75) + 2 \cdot (1.25) = 8$ .

Podemos hallar muchas otras parejas posibles de ancho y largo, $(x, y)$ , que hacen que la ecuación sea verdadera, es decir, parejas $(x, y)$ que al ser reemplazadas en la ecuación hacen que el lado izquierdo y el lado derecho sean iguales.

Una solución de una ecuación en dos variables es cualquier pareja de valores $(x, y)$ que hacen que la ecuación sea verdadera.

Podemos pensar en las parejas de números que son soluciones de una ecuación como puntos en el plano de coordenadas. Esta es una recta formada por todos los puntos $(x, y)$ que son soluciones de la ecuación $2 x + 2 y = 8$ . Cada punto que está sobre la recta representa un rectángulo de perímetro 8 unidades. Todos los puntos que no están sobre la recta no son soluciones de la ecuación $2 x + 2 y = 8$ .