Álgebra 2 – Glosario | Matemáticas de preparatoria de Open Up (CCSS), Family

A–F

algoritmo de la división para polinomios

Si $f (x)$ y $d (x) \neq 0$ son polinomios y el grado de $d (x)$ es menor o igual que el grado de $f (x)$ , entonces existen polinomios únicos $q (x)$ y $r (x)$ tales que

en donde el grado de $r (x)$ es menor que el grado de $d (x)$ .

Si $r (x) = 0$ , entonces $d (x)$ es un divisor exacto de $f (x)$ , es decir, $d (x)$ es un factor de $f (x)$ .

altura vertical

La distancia perpendicular desde el suelo hasta una posición dada.

ampliación vertical

Ver transformaciones de una función (no rígidas).

amplitud

La altura desde la recta media (recta central) hasta el máximo (pico) de una gráfica periódica. Es la mitad de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del rango.

Para funciones de la forma $y = A \sin b θ$ o $y = A \cos b θ$ , la amplitud es $| A |$ .

argumento (entrada) de un logaritmo

Ver función logarítmica (logaritmo).

asíntota

Una recta a la que una gráfica se acerca sin alcanzarla. Una gráfica nunca toca a una asíntota vertical, pero puede que se cruce con una asíntota horizontal o con una asíntota oblicua (también llamada asíntota inclinada).

Las asíntotas horizontales y oblicuas nos ayudan a entender, en general, el comportamiento final de una gráfica en la dirección positiva y en la dirección negativa. Si una función racional tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener una asíntota oblicua.

Una función racional, $f (x)$ , tiene una asíntota oblicua solo cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador.

asíntota horizontal

Una recta horizontal a la que una gráfica se acerca sin alcanzarla. Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal. La ubicación de la asíntota horizontal corresponde al valor al que se acerca la función cuando $x$ se hace infinitamente grande o cuando se hace infinitamente pequeño. Una asíntota es una recta imaginaria, pero con frecuencia se representa como una recta punteada en el plano.

$f (x) = 2^{x}$

A medida que $x$ se hace más pequeño, la gráfica de $f (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = 0$ .

$h (x) = 2^{- x}$

A medida que $x$ se hace más grande, la gráfica de $h (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = 0$ .

$g (x) = 2^{x} - 3$

A medida que $x$ se hace más pequeño, la gráfica de $g (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = - 3$ .

Ver también: asíntota.

asíntota inclinada

Ver asíntota.

asíntota vertical

Ver asíntota.

base de un logaritmo

Ver función logarítmica (logaritmo).

binomio

Un polinomio que tiene dos términos.

ceros (de una función)

Los ceros de una función $f (x)$ son los valores de $x$ para los cuales $f (x)$ es igual a cero. Los ceros reales corresponden a las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de la función.

ceros, raíces, soluciones

Las soluciones reales de una ecuación cuadrática $a x^{2} + b x + c = 0$ son los números reales que hacen que la ecuación sea verdadera. También se llaman ceros o raíces de la función $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Los ceros reales corresponden a las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de la función.

círculo unitario

Un círculo de radio $1$ (una unidad). La ecuación del círculo unitario con centro $(0, 0)$ es $x^{2} + y^{2} = 1$ .

El círculo unitario es una herramienta útil para pensar en funciones trigonométricas.

La medida en radianes es la razón $\frac{longitud de arco}{radio}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces la medida en radianes es igual a la longitud de arco.
Seno de $θ$ es la razón $\frac{y}{r}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces el seno es la coordenada $y$ .
Coseno de $θ$ es la razón $\frac{x}{r}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces el coseno es la coordenada $x$ .

Ejemplo: En el círculo unitario que se muestra, el punto $B$ tiene coordenadas $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ . Como $r = 1$ , $\sin 30 °$ es $\frac{1}{2}$ y $\cos 30 °$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . La longitud de arco es $\frac{2 π}{12}$ o $\frac{π}{6}$ .

clausura

Un conjunto es cerrado con respecto a una operación si y solo si al aplicar la operación a cualesquiera dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto.

cociente

Ver división.

coeficiente principal

El coeficiente principal de un polinomio es el número al lado de la variable que está elevada al mayor exponente.

comportamiento final

El comportamiento de una función $y = f (x)$ para valores de $x$ que son muy grandes (que tienden a $\infty$ ) o que son muy pequeños (que tienden a $- \infty$ ).

composición de funciones

El proceso de usar el valor de salida de una función como valor de entrada de otra función.

$f (x) = 3 x - 1; g (x) = 5 x + 1$

Se reemplaza $x$ por $5 x + 1$ :

$f (g (x)) = 3 (5 x + 1) - 1$

$f (g (x)) = 15 x + 3 - 1 = 15 x + 2$

conjugados complejos

Un par de números complejos cuyo producto es un número real distinto de cero.

Los números complejos $(a + b i)$ y $(a - b i)$ son un par conjugado.

El producto es un número real: $(a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}$ .

El conjugado de un número complejo $a + b i$ es el número complejo $a - b i$ .

El conjugado de $a + b i$ se escribe así: $\overset{―}{a + b i}$ .

coordenadas polares

Una forma de representar puntos en el plano usando pares ordenados de la forma $(r, θ)$ , en donde $r$ es la distancia del punto al origen y $θ$ es el ángulo de rotación del punto respecto a la parte positiva del eje $x$ .

curva de distribución

Una gráfica de las frecuencias de distintos valores de una variable en una distribución estadística.

curva de distribución de frecuencias, polígono de frecuencias

Una curva de distribución de frecuencias “suaviza las irregularidades” en una distribución de frecuencias con una curva idealizada que muestra qué tan a menudo un experimento producirá un resultado particular.

descomposición de funciones

Escribir una función compuesta en términos de las funciones que la componen.

desigualdad cuadrática

Una desigualdad en donde $y$ es menor que ( $<$ ), mayor que ( $>$ ), menor o igual a ( $\leq$ ) o mayor o igual a ( $\geq$ ) una función de grado $2$ en la variable $x$ .

Ejemplo: $y \geq a x^{2} + b x + c$

desplazamiento de fase

Un desplazamiento de fase es una transformación horizontal de la gráfica de una función trigonométrica.

desplazamiento horizontal

Ver transformaciones de una función.

desplazamiento vertical

Ver transformaciones de una función (rígidas).

desviación estándar

Un número que indica cómo se distribuyen unos datos numéricos con relación a su promedio (media) o valor esperado. Una desviación estándar baja significa que la mayoría de los datos están cerca del promedio. Una desviación estándar alta significa que los números están más dispersos. Símbolo para la desviación estándar: $σ$ (sigma).

determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un número que está definido solo para matrices cuadradas. Si el determinante es diferente de cero, entonces la matriz tiene una inversa multiplicativa.

Para una matriz de $2 \times 2$ , el determinante se calcula con la siguiente regla (nótese que se usan líneas verticales, en vez de corchetes cuadrados, para referirse al determinante de la matriz, y no a la matriz):

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$

distribución asimétrica

Cuando la mayoría de los datos están en un lado y el otro parece una “cola” (con pocos datos). Si la cola está a la derecha, decimos que la distribución es asimétrica a la derecha. Si la cola está a la izquierda, la distribución es asimétrica a la izquierda.

distribución bimodal

Una distribución bimodal tiene dos picos que sobresalen.

Los datos tienen dos modas.

Ver también modas.

distribución normal

En una distribución normal de datos, la mayoría de datos se agrupan en el centro del rango y el resto se dispersan simétricamente hacia los extremos. Estas son algunas características de una distribución normal:

Es simétrica.
La media, la mediana y la moda son todas iguales.
La curva de frecuencia es simétrica.
La curva de distribución tiene puntos de inflexión a $\pm 1$ desviaciones estándar de la media.
Tiene una sola moda.

El $68 %$ de la distribución estará a menos de $\pm 1$ desviaciones estándar de la media. El $95 %$ de la distribución estará a menos de $2$ desviaciones estándar de la media. El $99.7 %$ de la distribución estará a menos de 3 desviaciones estándar de la media.

distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal que tiene media igual a cero y desviación estándar igual a 1. La curva de distribución está centrada alrededor de cero. La desviación estándar es una medida del grado en que los datos se alejan de la media.

* Las distribuciones normales no tienen todas la misma media ni la misma desviación estándar.

dividendo

Ver división.

división

Con polinomios:

divisor

Ver división.

dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de $x$ que hacen que la función produzca valores de salida reales $y$ . El dominio es un dominio continuo si los valores de $x$ que se pueden usar como valores de entrada de la función están en un intervalo.

Elegir un dominio más pequeño para una función se llama restringir el dominio. El dominio se puede restringir para hacer que la función sea invertible.

A veces el contexto mismo restringe un dominio.

Otros términos que también se usan para referirse al dominio son los valores de entrada y la variable independiente.

dominio restringido

El dominio que resulta de limitar el dominio inicial de una función para que su inversa también sea una función.

ecuación cuadrática

Una ecuación que se puede escribir en la forma $y = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Forma estándar: $f (x) = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Ejemplo: $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Forma factorizada: $(x - 4) (x + 2) = 0$

Forma canónica: ${(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Forma recursiva: $f (1) = - 9; f (n) = f (n - 1) + (2 n - 3)$

(Nota: La forma recursiva solo se usa cuando la función es discreta).

ecuación explícita

Es una ecuación que relaciona un valor de entrada con un valor de salida.

Ejemplo: en $f (t) = 4 t + 1$ , la $t$ es la entrada y $f (t)$ es la salida.

La ecuación explícita también se llama regla de la función, fórmula explícita o regla explícita.

ecuación recursiva

También llamada fórmula recursiva o regla recursiva. Ver ejemplos en las entradas de sucesión aritmética, sucesión geométrica y ecuaciones cuadráticas.

en sentido de las manecillas del reloj / en sentido contrario a las manecillas del reloj

en sentido de las manecillas del reloj: moverse en la misma dirección en la que se mueven las manecillas de un reloj.

en sentido contrario a las manecillas del reloj: moverse en la dirección opuesta a la que se mueven las manecillas de un reloj.

estadístico de una muestra

Un estadístico o estadístico de una muestra es cualquier cantidad que se calcula a partir de la muestra. Es un número que da información a partir de solo una parte de una población.

estudio observacional

Un estudio en el que el investigador observa a los individuos sin interferir.

En este tipo de estudio, los investigadores observan el comportamiento de los participantes/individuos y tratan de no influir de ninguna manera, para poder aprender sobre el parámetro de interés.

expansión binomial

El resultado de desarrollar un binomio elevado a un exponente.

Ejemplo:

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = 1 a^{2} + 2 a b + 1 b^{2}$

El triángulo de Pascal (ver diagrama) sirve para encontrar los coeficientes en una expansión binomial. Cada fila nos da los coeficientes de ${(a + b)}^{n}$ (se comienza con $n = 0$ ). Para encontrar los coeficientes binomiales de ${(a + b)}^{n}$ , se usa la $n$ -ésima fila y siempre se comienza con la variable inicial elevada a la $n$ . Los dos exponentes que hay en cada término siempre suman $n$ . Los coeficientes binomiales de ${(a + b)}^{5}$ son, en orden, $1$ , $5$ , $10$ , $10$ , $5$ y $1$ . Por eso, la expansión binomial es $1 a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 b^{5}$ .

experimento

En un experimento, los investigadores separan a los participantes en dos grupos: el grupo de control (no reciben el tratamiento) y el grupo de tratamiento (sí lo reciben). Después, manipulan las variables para intentar determinar el efecto del tratamiento. Finalmente se comparan los resultados.

factor de un polinomio

$(x - r)$ es un factor de la función polinómica $y = P (x)$ si no hay residuo al dividir $P (x)$ entre $x - r$ .

factorizar

Factorizar un número: significa descomponerlo en números que al multiplicarlos se obtiene el número original.

Ejemplo: Factorizar $75$ : $75 = 3 \times 25$ , o $15 \times 5$ o $3 \times 5 \times 5$ .

Factor: un número entero no negativo que divide exactamente a otro número. En el ejemplo anterior, $3$ , $5$ , $15$ y $25$ son todos factores de $75$ .

En álgebra, la factorización puede ser más complicada. En vez de factorizar un número, como $75$ , se te puede pedir factorizar una expresión, como $15 a^{2} b$ .

Los números $3$ y $5$ , y las variables $a$ y $b$ son todos factores. La variable $a$ es un factor que aparece dos veces.

frecuencia

El número de veces que ocurrió un evento en un experimento o estudio.

función básica

Es la función más simple en una familia de funciones. Al transformar una función básica de varias maneras, se forma la familia de funciones.

función coseno inverso

función cuadrática

función cúbica

Un polinomio de grado $3$ . La función básica es $y = x^{3}$ .

función impar

Ver función: impar.

función inversa

función invertible

Una función es invertible si y solo si su inversa existe y es una función.

Si una función no es invertible en todo su dominio, el dominio se puede restringir para que sea invertible.

Ver función uno a uno.

función lineal

función logarítmica (logaritmo)

La inversa de una función exponencial se llama una función logarítmica.

Si $a^{x} = b$ , entonces $\log_{a} b = x$ .

La base del logaritmo y la base del exponente son la misma. Un logaritmo tiene 3 partes: el argumento (entrada), la base y la salida.

función par

Ver función: par.

función polinomial

Una función de la forma

$y = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots a_{n - 3} x^{3} + a_{n - 2} x^{2} + a_{n - 1} x + a_{n},$

en la que todos los exponentes son enteros positivos y todos los coeficientes $a_{0}, . . ., a_{n}$ son constantes.

función racional

Una función $f (x)$ es una función racional si es de la forma $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ , en donde $P$ y $Q$ son polinomios en $x$ y $Q$ no es el polinomio cero.

función seno inverso

función tangente inversa

función uno a uno

Una función $f$ es uno a uno si no hay dos entradas distintas que tienen la misma salida. Si ninguna recta horizontal interseca la gráfica de $f$ en más de un punto, la función es uno a uno.

La función $y = x^{3}$ es una función uno a uno.

Es una función invertible.

La función $y = x^{2}$ NO es una función uno a uno porque cada valor de salida $y$ ocurre dos veces, para dos entradas distintas del dominio (excepto el valor del vértice). No es una función invertible.

función: par, impar

Una función $f (x)$ es una función impar si $f (- θ) = - f (θ)$ . Ejemplo: $f (x) = x^{3}$ es una función impar. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Esto significa que al rotarse $180 °$ , se ve exactamente igual.

Una función $f (x)$ es una función par si $f (- θ) = f (θ)$ . Ejemplo: $f (x) = x^{2}$ es una función par. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje $y$ .

funciones trigonométricas

La trigonometría se puede extender para definir funciones trigonométricas de ángulos de rotación de cualquier valor, incluidos valores negativos. Para esto, se usa la siguiente posición estándar para el ángulo: el vértice es el origen y el rayo inicial apunta hacia la parte positiva del eje $x$ . Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva y una rotación en sentido de las manecillas del reloj es negativa. Con esta nueva definición de las funciones trigonométricas, la trigonometría se puede aplicar en comportamientos periódicos.

funciones trigonométricas recíprocas

Las razones recíprocas del seno, el coseno y la tangente.

$Cosecante: \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{hipotenusa}{opuesto} = \frac{c}{a}$

$Secante: \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{hipotenusa}{adyacente} = \frac{c}{b}$

$Cotangente: \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{adjacente}{opuesto} = \frac{b}{a}$

G–L

grado de un polinomio

El mayor exponente del polinomio.

grupo de control

El grupo de control se usa en un experimento para comprobar si cierto tratamiento funciona. Es un grupo de referencia que no recibe tratamiento o recibe un tratamiento neutral. Para evaluar los efectos del tratamiento, se comparan los resultados del grupo de tratamiento con los resultados del grupo de control.

grupo de tratamiento

En un estudio sobre el efecto de un tratamiento experimental, el grupo de tratamiento es el grupo de participantes que reciben el tratamiento.

El grupo de control es el grupo de participantes que no reciben el tratamiento durante el experimento.

identidad: aditiva, multiplicativa

Ver también propiedades de las operaciones.

identidades (aditiva/multiplicativa) de las matrices

identidades de ángulo doble

Ver identidades trigonométricas.

identidades de la suma y la resta

Ver identidades trigonométricas.

identidades trigonométricas

Afirmaciones que son verdaderas para todos los valores de $θ$ (theta).

Identidades de tangente y cotangente	$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ $\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$
Identidades de recíprocos	$\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$ $\sin θ = \frac{1}{\csc θ}$ $\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$ $\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$ $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ $\tan θ = \frac{1}{\cot θ}$
Identidades pitagóricas	$\sin^{2} θ + c o s^{2} θ = 1$ $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ $\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$
Identidades de funciones pares/impares	$\sin (- θ) = - \sin θ$ $\cos (- θ) = \cos θ$ $\tan (- θ) = - \tan θ$
Identidades periódicas	Si $n$ es un número entero, $\sin (θ + 2 π n) = \sin θ$ $\cos (θ + 2 π n) = \cos θ$ $\tan (θ + π n) = \tan θ$
Identidades de ángulo doble	$\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ $\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1$ $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ$
Identidades de la suma y la resta	$\begin{matrix} \sin (α \pm β) = \\ \sin α \cos β \pm \cos α \sin β \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos (α \pm β) = \\ \cos α \cos β \pm \sin α \sin β \end{matrix}$

Si el ángulo $x$ está en grados y $b$ es el mismo ángulo en radianes, entonces

$\frac{π}{180} = \frac{b}{x} ∴ b = \frac{π x}{180} y x = \frac{180 b}{π}$

Definiciones de las funciones trigonométricas inversas
$y = \sin^{- 1} x$ Dominio: $[- 1, 1]$ Rango $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$y = \cos^{- 1} x$ Dominio: $[- 1, 1]$ Rango: $[0, π]$
$y = \tan^{- 1} x$ Dominio: $(- \infty, \infty)$ Rango: $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Definiciones de las funciones

trigonométricas inversas

$y = \sin^{- 1} x$

Dominio: $[- 1, 1]$

Rango $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$y = \cos^{- 1} x$

Dominio: $[- 1, 1]$

Rango: $[0, π]$

$y = \tan^{- 1} x$

Dominio: $(- \infty, \infty)$

Rango: $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

inferencia (estadística)

Usar los resultados de una muestra para sacar conclusiones sobre una población.

interés compuesto continuo

Una cuenta bancaria con interés compuesto continuo gana intereses constantemente sobre el dinero, incluido el capital inicial y el interés acumulado.

intersección con el eje x

El punto o puntos en los que una recta o curva se cruza con el eje $x$ . El valor de $y$ de estos puntos es $0$ . Una recta no horizontal solo se cruza con el eje $x$ una vez. Una curva puede cruzarse con el eje $x$ varias veces.

intervalo de valores probables

Un rango de valores probables de un parámetro de la población. Se halla a partir de un estadístico de una muestra.

intervalos en los que crece o en los que decrece una función

En un intervalo donde crece una función, los valores de $y$ aumentan. En un intervalo donde decrece una función, los valores de $y$ disminuyen. Los intervalos donde crece una función (o donde decrece una función) son los valores de $x$ que corresponden al aumento o disminución en los valores de $y$ .

inverso: aditivo, multiplicativo

El número que debemos sumarle a un número para obtener cero es el inverso aditivo de ese número. Todo número real tienen un único inverso aditivo. El cero es su propio inverso aditivo. $x + (- x) = 0$ . Para todo $a$ existe un número $- a$ tal que

$a + (- a) = (- a) + a = 0$

El recíproco de un número distinto de cero es el inverso multiplicativo de ese número. El recíproco de $x$ es $\frac{1}{x}$ porque $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ . El producto de un número real y su inverso multiplicativo es $1$ . Todo número real distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo.

logaritmo común

Un logaritmo en base $10$ . Se escribe $\log x$ , que abrevia $\log_{10} x$ .

logaritmo natural

El logaritmo en base $e$ . Se escribe $\ln x$ , que es una abreviación de $\log_{e} x$ .

longitud de arco

Es la longitud que tiene un arco de un círculo. Es parte de la circunferencia.

Ecuación para encontrar la longitud de arco:

$s = r θ$

En la ecuación, $r$ es el radio y $θ$ es el ángulo central en radianes.

M–R

margen de error

El margen de error es un estadístico que mide el error en los resultados de una encuesta que se hace a las personas de una muestra aleatoria. Cuanto mayor es el margen de error, menos confianza se debe tener en que el resultado de la encuesta refleja el resultado de una encuesta hecha a toda la población.

matriz (propiedades de las operaciones)

Propiedad asociativa de la suma

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ejemplos con números reales

$\begin{aligned} (2 + 5) + 3 & = 2 + (5 + 3) \\ 7 + 3 & = 2 + 8 \\ 10 & = 10 \end{aligned}$