Lección 4 Triángulos congruentes Consolido lo que aprendí

Analiza el diagrama.

Sabemos que dos triángulos son congruentes si todos los pares de lados y ángulos correspondientes son congruentes. Quizás nos preguntemos si podemos garantizar que dos triángulos son congruentes teniendo menos información.

Por ejemplo, si sabemos que dos de los ángulos de los dos triángulos son congruentes, así como los lados entre ellos, ¿esto es suficiente para concluir que los dos triángulos son congruentes? Y si creemos que esa información es suficiente, ¿cómo podemos justificar que es cierto? El criterio anterior lo llamamos ALA (ángulo-lado-ángulo).

Este es un diagrama que muestra el criterio ALA de congruencia de triángulos:

Tu secuencia de transformaciones es suficiente para mostrar que estos dos triángulos son congruentes, pero ¿cómo podemos garantizar que todos los triángulos que comparten el criterio ALA son congruentes?

Probablemente tu secuencia de transformaciones era como esta:

• Trasladar el punto hasta que coincida con el punto .

• Rotar el segmento alrededor del punto hasta que coincida con el segmento .

• Reflejar el triángulo con respecto a la recta .

Podemos usar la palabra coincidir cuando queremos decir que dos puntos o segmentos de recta ocupan la misma posición en el plano. Cuando hagamos argumentos con transformaciones, usaremos mucho esta palabra.

Ahora la pregunta es: ¿cómo sabemos que después de la reflexión, el punto va a coincidir con el punto ? (De manera que todos los lados y ángulos coincidan).

Usa papel de calcar para experimentar con los siguientes pares de triángulos. Intenta determinar si puedes encontrar una secuencia de transformaciones que muestre que los triángulos son congruentes. Ten cuidado: puede haber algunos que no lo sean. Si, después de experimentar, los triángulos parecen ser congruentes, escribe un argumento que explique cómo sabes que este tipo de criterio siempre funciona. Es decir, ¿qué garantiza que los lados y ángulos sin marcar también coinciden?

Mientras Sione y Zac trabajan en el primer problema de esta lección, hacen críticas de sus argumentos y se esfuerzan por mejorar la precisión de su lenguaje.

Sione ha estado observando a Zac experimentar con el siguiente par de triángulos que tienen tres partes correspondientes que son congruentes. Le surge esta duda: “Encontraste condiciones que hacen que los triángulos sean congruentes en tus experimentos, ¿cómo sabemos que esas condiciones funcionan para todos los triángulos, y no solo para estos triángulos?”.

Argumento de Zac:

Zac dice: “Entiendo lo que hice con el primer grupo de triángulos. Creo que puedo hacer lo mismo con cualquier par de triángulos que tengan marcados como congruentes un ángulo, un lado y un ángulo (las partes del criterio ALA)”.

“Podemos trasladar el punto hasta que coincida con el punto . Después, rotar el segmento alrededor del punto hasta que coincida con el segmento . Y por último, podemos reflejar el triángulo con respecto a la recta . Así, todo coincide y por eso los triángulos son congruentes”. (El profesor de Zac y de Sione les sugirió que usaran la palabra coincide cuando quieran decir que dos puntos o segmentos de recta ocupan la misma posición en el plano. A ellos les gusta la palabra, así que planean usarla mucho).

¿Qué piensas acerca del argumento de Zac? ¿Con ese argumento estás convencido de que los dos triángulos son congruentes? ¿Faltan ideas fundamentales que crees que se deberían tener en cuenta? Reflexiona sobre estas preguntas mientras lees la discusión de Sione y Zac.

Sione no está seguro de que el argumento de Zac sea muy convincente. Le pregunta a Zac: “¿Cómo sabes que el punto coincide con el punto después de reflejar el triángulo?”.

Mientras Zac piensa en una respuesta a la pregunta, Sione añade lo siguiente: “En realidad, no usaste toda la información sobre las partes congruentes de los triángulos”.

“¿Qué quieres decir?”, pregunta Zac.

Sione responde: “Comenzaste usando el hecho de que cuando trasladaste el triángulo , de manera que el vértice coincidiera con el vértice . Y usaste el hecho de que cuando rotaste el segmento para que coincidiera con el segmento , ¿pero cuándo usaste el hecho de que ?”.

“Es cierto, pero ¿en realidad qué significa decir que dos ángulos son congruentes?”, agrega Zac. “Los ángulos son más que solo sus vértices”.

Argumento de Sione:

“Comenzaría de la misma forma que tú. Trasladaría el punto hasta que coincidiera con el punto . Rotaría el segmento alrededor del punto hasta que coincidiera con el segmento . Por último, reflejaría el triángulo con respecto al segmento ”, dice Sione. “Pero me gustaría estar seguro de que los puntos y coinciden. Sé que un ángulo está formado por dos rayos que comparten un extremo común. Como sé que el rayo coincide con el rayo y que , eso significa que el rayo coincide con el rayo . También sé que el rayo coincide con el rayo y que , entonces el rayo debe coincidir con el rayo . Como el rayo y el rayo se intersecan en el punto , y el rayo y el rayo se intersecan en el punto , los puntos y también deben coincidir, porque los rayos correspondientes coinciden. Por lo tanto, , y , ¡porque ambos ángulos están formados por rayos que coinciden!”.

Al comienzo, Zac está confundido con el argumento de Sione, pero hace diagramas, marca y dibuja con detenimiento cada una de las afirmaciones hasta que poco a poco comienza a tener sentido.