Lección 6 Justifiquemos construcciones Practico lo que aprendí

Actividad inicial

En una “Actividad inicial” anterior analizamos este diagrama y nos preguntamos si los segmentos $\overset{―}{A B}$ y $\overset{―}{C B}$ son congruentes.

¿Cómo puedes usar los criterios de congruencia de triángulos, como ALA, LAL o LLL, para demostrar que estos dos segmentos son congruentes? (Si necesitas ayuda, tu profesor puede darte algunas pistas para empezar).

Focos de aprendizaje

Justificar estrategias de construcción.

¿Cómo puedo explicar por qué ciertas construcciones (hechas solo con rectas y arcos circulares) funcionan?

¿Cómo puedo usar en mis explicaciones los criterios de congruencia de triángulos y las definiciones de las transformaciones rígidas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Las construcciones hechas con compás y regla se pueden justificar usando herramientas como:

• definiciones y propiedades de las transformaciones rígidas

• identificación de las partes correspondientes de los triángulos congruentes

• conjeturas sobre las características de los lados, los ángulos y las diagonales de los tipos especiales de cuadriláteros

1.

En el siguiente procedimiento se describen los pasos para construir la bisectriz de un ángulo. Estudia los pasos y completa el dibujo a partir de las descripciones dadas.

Pasos	Dibujo
Con un compás, dibuja un arco (una parte de un círculo) que interseque cada rayo del ángulo que se va a bisecar. Ubica el centro del arco en el vértice del ángulo.
Sin cambiar la distancia entre las puntas del compás, dibuja dos arcos en el interior del ángulo. Ubica el centro de los arcos en cada uno de los puntos donde el primer arco intersecó los rayos del ángulo.
Con la regla, dibuja un rayo, desde el vértice del ángulo, que pase a través del punto donde se intersecan los dos últimos arcos.

Explica detalladamente por qué funciona esta construcción. En el dibujo final, puede ser útil que identifiques algunos triángulos congruentes o un cuadrilátero que conozcas. También puedes usar las definiciones o propiedades de las transformaciones rígidas en tu explicación. Prepárate para compartir tu explicación con tus compañeros.

2.

En el siguiente procedimiento se describen los pasos para construir una recta perpendicular a otra recta y que pasa por un punto dado. Estudia los pasos y completa el dibujo a partir de las descripciones dadas.

Pasos	Dibujo
Con un compás, dibuja un arco (una parte de un círculo) que interseque la recta en dos puntos. Ubica el centro del arco en el punto dado.
Sin cambiar la distancia entre las puntas del compás, ubica un segundo punto al otro lado de la recta. Para hacerlo, dibuja dos arcos, cada uno con centro en uno de los puntos donde el primer arco intersecó la recta.
Con una regla, dibuja una recta que pase por el punto dado y por el punto de intersección de los dos últimos arcos.

3.

En el siguiente procedimiento se describen los pasos para construir una recta paralela a otra recta y que pasa por un punto dado. Estudia los pasos y completa el dibujo a partir de las descripciones dadas.

Pasos	Dibujo
Con una regla, dibuja un recta que pase por el punto dado para formar un ángulo cualquiera con la recta dada.
Con un compás, dibuja un arco (una parte de un círculo) que interseque ambos rayos del ángulo y que tenga su centro en el punto en el que se intersecan la recta que dibujaste y la recta dada.
Sin cambiar la distancia entre las puntas del compás, dibuja un segundo arco en el mismo lado del plano en que está el primer arco, con respecto a la recta que dibujaste, y que tenga su centro en el punto dado. El arco debe ser igual o más largo que el primer arco y debe intersecar la recta que dibujaste.
Ajusta el compás para que la distancia entre las dos puntas coincida con la distancia entre los dos puntos donde el primer arco cruza las dos rectas. Sin cambiar la distancia entre las dos puntas del compás, dibuja un tercer arco que interseque el segundo arco y que tenga su centro en el punto donde el segundo arco interseca la recta que dibujaste.
Con la regla, dibuja una recta que pase por el punto dado y por el punto donde se intersecan los dos últimos arcos que dibujaste.

¿Listo para más?

Dibuja un segmento de recta y un punto que no esté sobre la recta. Usa el segmento de recta como un lado y el punto como un vértice para construir el paralelogramo $A B C D$ . Construye un segmento $h$ que represente la altura. Debe ser perpendicular a un lado e ir desde ese lado hasta el vértice opuesto.

Aprendizajes

Estrategias que puedo usar cuando justifico construcciones:

Estas estrategias también serán útiles en futuros trabajos de geometría.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos algunas construcciones convencionales, como bisecar un ángulo, construir una recta que sea perpendicular a otra recta y que pase por un punto dado, y construir una recta que sea paralela a otra recta y que pase por un punto dado. Descubrimos que podíamos explicar por qué esas construcciones funcionan basándonos en las propiedades de los cuadriláteros, las partes correspondientes de los triángulos congruentes, o la definición de las características y propiedades de las transformaciones rígidas.

Repaso

1.

Este octágono regular se va a usar como una ventana decorativa en una casa. Los carpinteros hicieron un hueco con esa forma para poner la ventana. ¿Cuántos grados tendrían que rotar la ventana para que quepa en el hueco de ocho maneras distintas?

2.

Dados los puntos: $A (- 3, 7), B (5, 1)$

Encuentra la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ . Después, encuentra la pendiente de la recta que pasa por ellos.