Lección 5 Triángulos congruentes al rescate Practico lo que aprendí
Actividad inicial
Anteriormente, conjeturamos que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes, basándonos en nuestros experimentos y en una explicación con transformaciones rígidas.
1.
Teniendo en cuenta esta suposición, marca en el diagrama los segmentos que son congruentes.
2.
¿Dibujar una de las diagonales del paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes?
3.
Si es así, ¿qué criterio de congruencia de triángulos usaste para decidir que son congruentes?
4.
Menciona un par de ángulos que sean congruentes en el diagrama.
5.
¿Cómo sabes que esos ángulos son congruentes?
Focos de aprendizaje
Identificar triángulos congruentes y escribir afirmaciones de congruencia.
Usar los criterios de congruencia de triángulos para justificar otras propiedades de las figuras geométricas.
Cuando identifico triángulos congruentes, ¿cómo puedo mostrar con símbolos lo que veo?
¿Cómo uso los criterios de congruencia de triángulos para justificar otras propiedades de las figuras geométricas?
Para poder usar los criterios de congruencia de triángulos con el fin de demostrar algo más sobre una figura geométrica, ¿cuándo puede ser útil descomponerla en triángulos?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Parte 1
Zac y Sione exploran los triángulos isósceles (triángulos que tienen dos lados congruentes):
Zac: “Creo que todos los triángulos isósceles tienen una recta de simetría. Esta pasa por el vértice del ángulo formado por los dos lados congruentes y por el punto medio del tercer lado”.
Sione: “Decir que sabes algo acerca de todos los triángulos isósceles me parece muy arriesgado. Quizás no has pensado en triángulos para los que esa afirmación no es verdadera”.
Zac: “Pero he doblado por la mitad muchos triángulos isósceles, y siempre parece funcionar”.
Sione: “Muchos triángulos isósceles no son todos los triángulos isósceles. Por eso, aún no estoy seguro”.
1.
¿Qué piensas acerca de la afirmación de Zac? ¿Crees que todos los triángulos isósceles tienen una recta de simetría? Si es así, ¿qué te hace estar convencido de que esto es cierto? Si no, ¿qué dudas tienes acerca de su afirmación?
2.
¿Qué más necesita saber Zac acerca de la línea de doblez para estar seguro de que es una recta de simetría? (Pista: Piensa en la definición de una recta de reflexión).
3.
Sione piensa que la línea de doblez de Zac (la línea formada al doblar por la mitad el triángulo isósceles) crea dos triángulos congruentes dentro del triángulo isósceles. ¿Qué criterio —ALA, LAL o LLL— puede usar para justificar esta afirmación? Menciona los lados o ángulos que consideras que son congruentes y explica cómo sabes que lo son.
4.
Si los dos triángulos que se crean al doblar por la mitad un triángulo isósceles son congruentes, ¿qué se puede concluir acerca de los “ángulos de la base” de un triángulo isósceles (los dos ángulos que no están formados por los dos lados congruentes)?
5.
Si los dos triángulos que se crean al doblar por la mitad un triángulo isósceles son congruentes, ¿qué se puede concluir acerca de de la “línea de doblez”? (Podrías hacer un par de afirmaciones acerca de esta línea: una, enfocándote en dónde se interseca la línea con el tercer lado no congruente del triángulo; otra, enfocándote en dónde se interseca la línea con el vértice del ángulo formado por los dos lados congruentes).
Parte 2
Al igual que Zac, has hecho algunos experimentos con rectas de simetría y con simetría de rotación. En las lecciones “Simetrías de los cuadriláteros” y “Cuadriláteros: Más allá de su definición” hiciste algunas observaciones acerca de los lados, los ángulos y las diagonales de distintos tipos de cuadriláteros, basándote en experimentos y en tu conocimiento acerca de las transformaciones. Muchas de estas observaciones se pueden justificar mejor buscando triángulos congruentes y sus partes correspondientes, como hicieron Zac y Sione en su trabajo con triángulos isósceles.
Escoge uno de los siguientes cuadriláteros para explorarlo:
Un rombo es un cuadrilátero en el que todos los lados son congruentes.
Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos.
Un cuadrado es tanto un rectángulo como un rombo; es decir, tiene cuatro ángulos rectos y todos sus lados son congruentes.
6.
Dibuja un ejemplo del cuadrilátero que elegiste y marca los vértices con las letras
7.
Haz una lista de todos los pares de triángulos congruentes que puedas encontrar. Debes basarte en (1) tu dibujo, (2) la definición de tu cuadrilátero y (3) la información que puedas recoger acerca de los lados y los ángulos, teniendo en cuenta las rectas de reflexión y la simetría de rotación.
8.
Para cada par de triángulos congruentes de tu lista, indica el criterio que usaste —ALA, LAL o LLL— para determinar que son congruentes. Explica cómo sabes que son congruentes los ángulos o los lados que el criterio dado requiere (ver la tabla).
Triángulos congruentes | Criterio usado (ALA, LAL, LLL) | ¿Cómo sé que los lados o ángulos que deben ser congruentes según el criterio lo son? |
|---|---|---|
Ejemplo: Si digo | Basándome en LLL | Entonces tengo que explicar:
de manera que puedo usar el criterio LLL para decir que |
¿Listo para más?
Hemos dado por ciertas muchas características de distintos tipos de paralelogramos basándonos en experimentos con transformaciones rígidas. Ahora que has identificado algunos triángulos congruentes en los paralelogramos, intenta usar los triángulos congruentes para justificar otras afirmaciones sobre los distintos tipos de paralelogramos, como:
Las diagonales se bisecan entre sí.
Las diagonales son congruentes.
Las diagonales son perpendiculares entre sí.
Las diagonales bisecan los ángulos del cuadrilátero.
Escoge una de las anteriores afirmaciones que consideres verdadera en un tipo específico de paralelogramo. Luego, intenta escribir un argumento que convencería a Zac y a Sione de que la afirmación es verdadera.
Aprendizajes
Hoy aprendimos varias estrategias de trabajo con diagramas para demostrar afirmaciones de congruencia, como:
Notación, convenciones y vocabulario
A veces es útil agregar una recta auxiliar a un diagrama.
Una recta auxiliar es
En este caso, la recta auxiliar me permitió
Vocabulario
- PCTCC
- recta auxiliar
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección buscamos triángulos congruentes dentro de una figura geométrica. Después, y basándonos en lo anterior, descubrimos varias estrategias para justificar afirmaciones sobre congruencia. Una estrategia útil fue agregar rectas auxiliares a la figura geométrica. Otra fue usar la idea de que las partes correspondientes de los triángulos congruentes también son congruentes.
1.
La figura muestra un par de rectas; una es la preimagen y la otra es la imagen.
a.
Describe cuál fue la transformación que se usó para crear la imagen.
b.
Escribe la ecuación de cada recta.
2.
¿Por qué un compás es una herramienta útil en dibujo técnico, arquitectura y geometría?