Lección 1 El diseño de un kiosco Desarrollo mi comprensión
Actividad inicial
Al doblar un triángulo equilátero por la mitad, se forman dos triángulos congruentes de
Encuentra el área del triángulo equilátero de dos maneras diferentes.
1.
Con trigonometría:
2.
Con el teorema de Pitágoras:
Focos de aprendizaje
Encontrar el perímetro y el área de polígonos regulares.
¿Cómo podemos extender nuestra lista de las fórmulas de área para que incluya fórmulas del área de todos los polígonos regulares?
¿Necesitamos una regla diferente para cada tipo de polígono regular o podemos encontrar un método general para encontrar el área de cualquier polígono regular?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Zac va a diseñar un kiosco para el jardín de su familia usando sus conocimientos de geometría. El kiosco tendrá la forma de un polígono regular. Para que sus padres puedan comprar la cantidad correcta de madera para la construcción, Zac debe calcular varias cosas:
El perímetro del kiosco, para pedir suficiente barandilla y rodearlo todo.
El área del piso del kiosco, para pedir suficiente tablón y cubrirlo todo.
El área de superficie de la pirámide, para saber qué tan grande es el techo.
El problema es que sus padres cambian continuamente de opinión sobre la forma del kiosco: un hexágono, un octágono, un decágono, un dodecágono o incluso otro tipo de polígono de
Zac sabe sobre simetrías de polígonos. Él sabe que todos los polígonos regulares son cíclicos. Es decir, todo polígono regular se puede inscribir en un círculo. Zac se pregunta si esta propiedad de los polígonos regulares se puede usar para encontrar su perímetro y área.
Zac quiere hacer un dibujo a escala del kiosco. En su primer intento, él inscribe un hexágono regular en un círculo de
1.
Para empezar a calcular el perímetro de este hexágono, Zac decide escribir todo lo que sabe. Indica si estás de acuerdo o no con cada una de sus afirmaciones y explica por qué. También tendrás que agregar características al diagrama para ilustrar los comentarios de Zac.
Lo que Zac cree que sabe: | ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo? Explica por qué. |
|---|---|
Dos radios que van del centro del círculo hasta dos vértices consecutivos del hexágono regular forman un ángulo central. La medida del ángulo se puede encontrar teniendo en cuenta la simetría de rotación de la figura. | |
El hexágono se puede descomponer en 6 triángulos isósceles congruentes. | |
Las alturas de estos 6 triángulos congruentes (que van del vértice del triángulo, en el centro del círculo, al lado opuesto del triángulo) se pueden encontrar con trigonometría. | |
Las longitudes de los lados del triángulo que son cuerdas del círculo se pueden encontrar con trigonometría. |
2.
Teniendo en cuenta lo que Zac y tú saben, encuentra el perímetro del hexágono que él inscribió en el círculo de
3.
Ahora encuentra el área del hexágono que Zac inscribió en el círculo de
4.
¿Qué pasa si Zac inscribe un octágono en el círculo de radio
5.
Cambia tu estrategia para encontrar el perímetro y el área de cualquier polígono regular de
¿Listo para más?
1.
Usa tu fórmula del perímetro de un polígono regular para encontrar el perímetro de cada uno de los siguientes polígonos inscritos en un círculo de
a.
Un pentágono regular
b.
Un decágono regular
c.
Un polígono regular de
d.
Un polígono regular de
2.
¿Qué observas?
Aprendizajes
Puedo usar una estrategia o una fórmula para encontrar el perímetro o el área de un polígono regular.
Mi descripción de la estrategia:
Para generalizar esta estrategia, podemos usar estas fórmulas:
Para el perímetro de un polígono regular:
Para el área de un polígono regular:
Vocabulario
- polígono de n lados
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección desarrollamos una estrategia para encontrar el perímetro y el área de un polígono regular. Primero, inscribimos el polígono regular en un círculo para poder usar lo que ya sabemos sobre ángulos centrales, radios y cuerdas. Al descomponer el polígono regular en triángulos rectángulos, pudimos usar razones trigonométricas para encontrar longitudes que nos ayudaron a calcular el perímetro y el área.
1.
Dada el área de un círculo, encuentra el radio y la circunferencia.
radio | |
área | |
circunferencia |
2.
Encuentra el perímetro y el área de la figura.