Lección 7 Bases sobre la arena Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

En cada caso, dibuja un diagrama que represente la figura.

1.

Un prisma recto con una base triangular.

2.

Un prisma recto con una base hexagonal.

Focos de aprendizaje

Deducir y usar fórmulas para prismas rectos y pirámides rectas.

¿Cómo se relacionan las fórmulas para las pirámides y conos con las fórmulas para los prismas y cilindros?

¿Podemos visualizar por qué ocurre esto?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Benji, Chau y Kassandra discuten sobre las figuras de tres dimensiones que planean incluir en sus castillos de arena. Se preguntan cómo calcular el volumen de algunas de ellas. Chau quiere incluir prismas cuyas bases son triángulos equiláteros. Kassandra quiere incluir prismas cuyas bases son hexágonos regulares. Benji solo se sabe la fórmula del volumen de un prisma rectangular de dimensiones $L \times W \times H$ .

Benji quiere descubrir cómo influye la forma de la base en el volumen del prisma. Se pregunta si analizar las bases de los prismas que Chau y Kassandra quieren incluir en los castillos le puede ayudar a descifrar los volúmenes de los prismas.

Chau quiere incluir un prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero de $2 pulgadas$ de lado y $10 pulgadas$ de altura. Benji analiza la base del prisma de Chau, que está inscrita en un rectángulo.

1.

Desarrolla una estrategia para encontrar el volumen del prisma triangular de Chau usando este dibujo que Benji creó como ayuda para visualizar el piso (la base) del prisma.

Kassandra quiere incluir un prisma hexagonal cuya base sea un hexágono regular de $2 pulgadas$ de lado y altura de $10 pulgadas$ . Benji analiza el piso (la base) del prisma de Kassandra que está inscrito en un círculo.

2.

Desarrolla una estrategia para encontrar el volumen del prisma hexagonal de Kassandra usando este dibujo que Benji creó como ayuda para visualizar el piso (la base) del prisma.

3.

Describe un procedimiento general para encontrar el volumen de un prisma a partir de una descripción y las dimensiones de la base del prisma.

4.

Considera un prisma de altura $h$ y cuya base es un polígono regular de $n$ lados inscrito en un círculo de radio $r$ . ¿Cómo puedes usar esta descripción para justificar que el volumen del cilindro es $V = π r^{2} h$ ?

Haz una pausa y reflexiona

Benji le describe a Chau y Kassandra su estrategia para encontrar el volumen de cualquier prisma. Ambos se emocionan, pero Kassandra tiene otra pregunta: “Me pregunto por qué el volumen de una pirámide o un cono es $\frac{1}{3}$ del volumen de un prisma o un cilindro que tiene la misma base y altura”.

Chau responde: “No estoy seguro de por qué esto es verdadero en general, pero puedo explicarlo con una pirámide de base cuadrada cuya altura es $\frac{1}{2}$ de la longitud de lado de su base”. Chau dibuja rápidamente el siguiente cubo con sus cuatro diagonales. Cada arista del cubo mide $x pulgadas$ .

5.

Las diagonales dividen el cubo en $6$ pirámides congruentes. (Cada cara del cubo es la base de una de las pirámides). ¿Cómo se relaciona el volumen de cada pirámide con el volumen del cubo? Usa el dibujo de Chau y la relación entre el volumen del cubo y los volúmenes de las pirámides para deducir una fórmula del volumen de una de las pirámides en términos de $x$ .

6.

La pirámide del problema 5 no tiene la misma altura que el cubo. Encuentra el volumen del prisma rectangular que tiene la misma base y altura que una de las pirámides.

7.

¿Cómo se relaciona el volumen de una de las pirámides del problema 5 con el volumen del prisma rectangular del problema 6?

¿Listo para más?

El diagrama muestra los pisos (bases) de dos pirámides distintas: en una, la base es un rectángulo. En la otra, la base es un triángulo equilátero. Compara los volúmenes de las pirámides. ¿Qué puedes decir? ¿Qué hiciste para decidir qué responder?

Aprendizajes

Dos estrategias para encontrar el volumen de un prisma recto:

Estrategia 1: Un método de disección

Estrategia 2: Usar una fórmula

Para encontrar el volumen de una pirámide de base cuadrada:

Vocabulario

pirámide
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección dedujimos una fórmula del volumen de prismas rectos que no tienen bases rectangulares y una fórmula del volumen de pirámides. Para esto, descompusimos prismas rectangulares de varias maneras y pensamos en cómo la suma de los volúmenes de los prismas o pirámides que se obtenían debía ser igual al volumen del prisma rectangular original.

Repaso

1.

Grafica los dos puntos en la cuadrícula de coordenadas. Después, encuentra la longitud del segmento que los une.

a.

$A (- 4, 4)$ , $B (2, 4)$

b.

$P (- 4, 4)$ , $Q (2, - 4)$

2.

Encuentra la medida del ángulo $A$ .