Lección 4 El jardín redondo de Madison Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

En un “Boleto de salida” anterior analizaste este diagrama. En él, Tehani dibujó figuras semejantes teniendo en cuenta que todos los círculos son semejantes y que el círculo $B$ es la imagen del círculo $A$ después de una dilatación. Tehani descubrió que la dilatación con centro en el punto $O$ tenía factor de escala $\frac{O B}{O A} = 2.25$ .

Tehani también hizo este cálculo:

Ella calculó la longitud del arco intersecado $\overset{⌢}{R G}$ y obtuvo $2.44 cm$ .

A partir de esta información, encuentra la longitud del arco intersecado $\overset{⌢}{S H}$ .

Focos de aprendizaje

Conocer y explorar una nueva unidad para medir ángulos.

Estamos muy familiarizados con medir ángulos en grados, pero ¿por qué hay $360 °$ en un círculo? ¿Por qué no hay $100 °$ o $1, 000 °$ ?

¿Hay otras maneras de medir ángulos que se ajusten mejor a las características del círculo y que no requieran herramientas adicionales como un transportador?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El año pasado Madison ganó el premio al “Jardín más espectacular” de la ciudad con su jardín cuadrado. Este año quiere mejorarlo y diseñar un hermoso jardín redondo. Este tiene un aspersor en el centro y anillos concéntricos de flores coloridas que lo rodean. Los adoquines forman caminos circulares y caminos que parecen radios de una rueda entre las flores. El aspersor se puede ajustar y solo regar las flores del círculo interior o regar todo el jardín. Así, las flores que más se deben regar están cerca del centro y las que necesitan menos agua están más lejos. No todos los sectores del jardín tienen el mismo tamaño pues necesitan tener plantas diferentes.

Este es el diseño del jardín de Madison. El número de grados de cada sector está marcado.

1.

Madison marcó la medida en grados en los arcos del anillo externo. Encuentra las medidas de los ángulos en el arco interior y en el arco del medio del jardín.

2.

Madison necesita pedir adoquines para el jardín. Ella planea variar el tamaño y color de los adoquines en distintas partes del jardín y por esto necesita saber las longitudes de las distintas partes de los caminos. Calcula las longitudes de arco que faltan en la tabla y ayúdale a Madison a completarla.

	Distancia al centro	Longitud de arco
	Distancia al centro	sector de $40 °$	sector de $50 °$	sector de $60 °$	sector de $90 °$	sector de $120 °$
Círculo interior de adoquines	$10 pies$
Círculo de adoquines del medio	$20 pies$
Círculo exterior de adoquines	$30 pies$

3.

Mientras Madison completa la tabla, ella analiza las sucesiones de números en las columnas de la tabla y observa algunas relaciones importantes. ¿Qué observas?

4.

Madison presta atención a la razón de la longitud de arco al radio del círculo. Completa esta versión de la tabla e indica lo que crees que Madison observa.

	Distancia al centro	Longitud de arco / Radio
	Distancia al centro	sector de $40 °$	sector de $50 °$	sector de $60 °$	sector de $90 °$	sector de $120 °$
Círculo interior de adoquines	$10 pies$
Círculo de adoquines del medio	$20 pies$
Círculo exterior de adoquines	$30 pies$

Madison analiza estos números y se da cuenta de que todos los arcos que están en el mismo sector tienen la misma medida en grados y el mismo valor de la razón de la longitud de arco al radio. Ella se pregunta si estos nuevos números se podrían usar para medir ángulos de la misma manera en que se usan los grados.

En la noche, Madison comparte su descubrimiento con su hermana mayor, Katelyn, que estudia cálculo en una universidad local. Katelyn dice que estos nuevos números para medir ángulos en términos de la razón de la longitud de arco al radio se llaman radianes. Dice que con estos números, las reglas de cálculo son mucho más fáciles que cuando medimos ángulos en grados.

¿Listo para más?

Madison aprendió mucho al analizar la longitud de arco de los sectores de su jardín. Ahora decidió analizar las áreas de los sectores.

Completa esta tabla para Madison. Para esto, calcula las áreas de los sectores de los distintos anillos del jardín.

	Distancia al centro	Área del sector
	Distancia al centro	sector de $40 °$	sector de $50 °$	sector de $60 °$	sector de $90 °$	sector de $120 °$
Círculo interior de adoquines	$10 pies$
Círculo de adoquines del medio	$20 pies$
Círculo exterior de adoquines	$30 pies$
Círculo extendido de adoquines	$40 pies$

¿Qué patrones observas sobre la manera como aumentan los números de cada columna en la tabla?

Aprendizajes

Define o describe qué es un radián con lenguaje preciso:

Vocabulario

radián
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos una nueva unidad para medir ángulos: el radián. Analizamos la razón de la longitud de arco al radio para varios ángulos centrales y para varias distancias al centro del círculo.

Repaso

1.

Encuentra el volumen y el área de superficie del cilindro de la figura 1.

2.

a.

Calcula la longitud de $\overset{⌢}{B C}$ , la longitud de $\overset{⌢}{N M}$ y el área de cada sector.

b.

Encuentra las siguientes razones:

$\frac{radio del ⨀ A}{radio del ⨀ L}$ , $\frac{m \overset{⌢}{B C}}{m \overset{⌢}{N M}}$ , $\frac{circunferencia del ⨀ A}{circunferencia del ⨀ L}$ y $\frac{\overset{´}{a} rea del sector B A C}{\overset{´}{a} rea del sector N L M}$ .