Lección 6 Castillos de arena Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
Usando la información dada, haz un diagrama con marcas de cada figura de tres dimensiones que se describe. Después, encuentra el volumen de las figuras.
1.
Un prisma recto de base cuadrada con lado de
2.
Un cilindro recto con base circular de radio
3.
Un cono recto con base circular de radio
Focos de aprendizaje
Usar la semejanza para cambiar el área y el volumen con factores de escala.
Hemos aprendido sobre transformaciones de dilatación en dos dimensiones. ¿Qué le ocurre a un sólido al dilatarlo en tres dimensiones?
¿Cómo cambia el área y el volumen del sólido después de esa dilatación?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Benji, Chau y Kassandra planean participar en un concurso de construcción de castillos de arena patrocinado por una estación local de radio. El equipo ganador tendrá una fiesta privada en la playa con sus amigos en un centro turístico. Para participar, cada equipo debe enviar un dibujo de su castillo y algo que compruebe que el diseño cumple las reglas.
Los amigos van a construir tres castillos semejantes: cada castillo será el doble de grande que el anterior. Ellos esperan que al copiar el mismo diseño 3 veces con atención al más mínimo detalle, impresionarán a los jueces con su creatividad y habilidad.
Benji está confundido con dos preguntas de la solicitud. Le parece que son preguntas de matemáticas y quiere que Chau y Kassandra se aseguren de que él las responda correctamente.
Por favor indicar la siguiente información sobre la escultura de arena:
Esta información le permitirá al comité de planeación ubicar las esculturas de arena para que el público tenga fácil acceso a todas. Se recuerda que la escultura no puede ocupar un área total de más de
Daremos arena limpia y tamizada a cada equipo. No somos responsables de residuos o sustancias nocivas que pueda haber en la arena de playa. Certifico que la información anterior es correcta. Firma del líder del equipo: Fecha: |
Los amigos solo diseñaron uno de los castillos dado que los otros son versiones a escala de este. Cada castillo es “el doble de grande” que el anterior.
Después de analizar una figura del diagrama, Benji dijo: “Calculé el área del piso del castillo más pequeño y obtuve
1.
¿Qué opinas sobre lo que dijo Benji? En papel cuadriculado diseña varios “pisos” posibles de un castillo de arena que ocupen un área de
2.
Imagina que apilas cubos sobre el “piso” de tu castillo de arena para crear una escultura sencilla de tres dimensiones. Después, amplía cada diseño de modo que sea “el doble de grande” y calcula el volumen. ¿Qué observas?
3.
¿Cómo interpretaste la frase “el doble de grande” en lo que hiciste en los problemas 1 y 2? ¿Interpretaste lo mismo que Benji?
4.
Para evitar confusiones, sería más adecuado que Benji y sus amigos dijeran que van a “redimensionar” su primer castillo de arena por el factor de escala
5.
¿Qué le ocurre al perímetro del “piso” de tu castillo de arena cuando se redimensiona por el factor de escala
6.
Supón que el “piso” de tu castillo de arena se recorta de un pedazo de icopor cuyo grosor es
Haz una pausa y reflexiona
7.
Los planos del castillo de arena más pequeño incluyen un prisma rectangular que mide
a.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar el prisma del castillo de arena más pequeño?
b.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar el prisma correspondiente en el castillo de arena mediano?
c.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar el prisma correspondiente en el castillo de arena más grande?
d.
¿Cuál es el perímetro de cada una de las tres bases cuadradas de los prismas que hay en los distintos castillos?
e.
¿Cuál es el área de superficie total de cada uno de los tres prismas rectangulares que se van a usar en cada castillo? (Esta información se necesita para construir desarrollos planos de los modelos que se usarán para crear los prismas).
8.
Los planos de Chau y Kassandra del castillo de arena más pequeño incluyen columnas en forma de cilindros cuya base circular tiene radio de
a.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar cada una de estas columnas del castillo más pequeño?
b.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar la columna correspondiente en el castillo mediano?
c.
¿Qué volumen de arena se necesita para formar la columna correspondiente en el castillo más grande?
d.
¿Cuál es la circunferencia de cada una de las tres bases circulares de las columnas en los distintos castillos?
e.
¿Cuál es el área de superficie total de cada cilindro de cada castillo? Incluye el área de las dos bases circulares y el área del rectángulo con el que se forma el cilindro. (Esta información se necesita para construir los moldes en los que se pondrá arena mojada para crear las columnas).
¿Listo para más?
Es posible entender qué le ocurre a un área rectangular al duplicar o triplicar su largo y su ancho porque podemos ver las copias del rectángulo más pequeño en la versión a escala del rectángulo. Sin embargo, no podemos ver los círculos a escala descompuestos en cuatro círculos congruentes más pequeños. ¿Qué podemos hacer en este caso?
Usando el siguiente diagrama, demuestra que las cuatro regiones del círculo tienen la misma área que uno de los círculos más pequeños.
Aprendizajes
Cuando las dimensiones lineales de una figura de tres dimensiones se multiplican por un factor de escala
El área de superficie
El volumen
Saber esto es útil porque
Vocabulario
- altura
- cilindro: recto, oblicuo
- cono: recto, oblicuo
- factor de escala
- prisma: recto, oblicuo
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos cómo cambian el área y el volumen de una figura de tres dimensiones cuando multiplicamos sus medidas lineales por un factor de escala. Esto nos sirvió para calcular el volumen o el área de superficie después de ampliar o reducir figuras, sin tener que volver a usar las fórmulas del volumen o el área de superficie.
1.
Encuentra el valor exacto de la longitud de lado desconocida.
2.
Convierte
3.
Convierte