Lección 5 Rayos y radianes Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Madison y sus amigos quieren escribir una buena definición de radián para su “Boleto de salida”. Estas son algunas de sus respuestas. Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Después, decide si cada afirmación es útil como está escrita o si necesita más precisión.

Estudiante	Un radián es...	¿Verdadera o falsa?	¿Útil o poco precisa?
Travis	Una nueva manera de medir ángulos.
Anushka	Una manera de medir un ángulo central usando longitud de arco en vez de grados.
Aaliyah	La medida de un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.
Aryan	La razón de la longitud de arco al radio.
Mateo	Una unidad para medir ángulos que es diferente a los grados.

Focos de aprendizaje

Medir ángulos en radianes.

¿Cómo convertimos medidas en grados a medidas en radianes?

¿Cómo puedo visualizar el tamaño de un ángulo si su medida se da en radianes en vez de grados?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección anterior, “El jardín redondo de Madison”, Madison encuentra una nueva manera de medir ángulos. Al parecer, ella no es la primera persona a la que se le ocurre medir un ángulo en términos de la longitud de arco, pero apenas se da cuenta, ella decide analizar esto más a fondo.

Madison tiene estas preguntas. Intenta responderlas.

1.

Sabiendo que, a la milésima más cercana, un ángulo de $40 °$ mide $0.698 radianes$ , un ángulo de $50 °$ mide $0.873 radianes$ y un ángulo de $60 °$ mide $1.047 radianes$ , ¿qué ángulo, medido en grados, mide $1.000 radianes$ ?

2.

Un círculo mide $360 °$ . ¿Cuánto mide en radianes?

3.

La fórmula que Madison ha usado para calcular la medida en radianes de un ángulo que mide $n °$ en un círculo de radio $r$ es $\frac{\frac{n °}{360 °} (2 π r)}{r} = x radianes$ .

¿Hay alguna fórmula más sencilla para convertir de grados a radianes?

4.

¿Qué fórmula puedes usar para devolverte, es decir, para convertir de radianes a grados?

Haz una pausa y reflexiona

Madison está tan entusiasmada con la medida en radianes que decide aprender más sobre este tema en internet. Ella encuentra esta afirmación: Un arco de un círculo que tiene la misma longitud que el radio de ese círculo corresponde a un ángulo de $1 radi \overset{´}{a} n$ . Un círculo completo corresponde a un ángulo de $2 π radianes$ .

5.

¿Por qué la primera parte de la afirmación anterior es verdadera?

6.

¿Por qué la segunda parte de la afirmación es verdadera?

7.

Usa una cuerda y un círculo para decidir cuántos radianes hay en un círculo completo. ¿Con este experimento se comprueba o se contradice la afirmación que Madison encontró en internet?

A Madison le gusta la idea de escribir las medidas en radianes en términos de $π$ . Como un círculo mide $2 π radianes$ , ella cree que la mitad de un círculo, $180 °$ , debe medir $π radianes$ . También observa que un cuarto de giro (un ángulo recto) debe medir $\frac{π}{2}$ radianes. Madison cae en cuenta de que mientras estaba absorta pensando en esta nueva idea, estuvo jugueteando con su transportador. Ella se enfoca ahora en esta herramienta.

Al igual que Madison, probablemente has usado un transportador para medir ángulos. En general, un transportador está marcado para medir ángulos en grados. Madison quiere crear un transportador para medir ángulos en radianes.

8.

Marca el transportador con radianes usando fracciones que tengan $π .$ De $0 °$ a $180 °$ debes hacer marcas cada $10 °$ . Por ejemplo, los rayos que pasan por las marcas de los ángulos de $0 °$ y $40 °$ deben formar un ángulo que mida $\frac{4}{18} π$ (o $\frac{4 π}{18} = \frac{2 π}{9}$ ) radianes, así que la marca en $40 °$ será $\frac{4 π}{18}$ o $\frac{2 π}{9}$ .

¿Listo para más?

1.

Piensa en un círculo que está en una cuadrícula de coordenadas y que tiene centro en el origen, $(0, 0)$ . Completa la siguiente afirmación.

(Nota: Para cada ángulo, uno de los rayos se extenderá desde el centro del círculo a lo largo de la parte positiva del eje $x$ . Los ángulos se deben medir en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir de este rayo).

El rayo no horizontal de los ángulos entre $\underset{―}{}$ y $\underset{―}{}$ radianes estará en el primer cuadrante. El rayo de los ángulos entre $\underset{―}{}$ y $\underset{―}{}$ radianes estará en el segundo cuadrante. El rayo de los ángulos entre $\underset{―}{}$ y $\underset{―}{}$ radianes estará en el tercer cuadrante. El rayo de los ángulos entre $\underset{―}{}$ y $\underset{―}{}$ radianes estará en el cuarto cuadrante.

2.

A partir de lo que hiciste, piensa en esta pregunta: ¿es posible que un ángulo mida más de $2 π radianes$ ?

Aprendizajes

Escribir radianes en términos de $π$ nos permite

Escribir radianes como decimales nos da

Visualizar ángulos en radianes es más fácil si conocemos algunos ángulos de referencia, como por ejemplo (haz una lista de todas las equivalencias entre grados y radianes que puedas):

Para convertir de radianes a grados, puedo

Para convertir de grados a radianes, puedo

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo aproximar el tamaño de un ángulo al medirlo en radianes y aprendimos la medida en radianes de algunos ángulos conocidos en grados, como 90° y 180°. También aprendimos cómo convertir de grados a radianes.

Repaso

1.

a.

Si compraste $π galones$ de gasolina en la gasolinera, ¿cuántos galones compraste?

b.

Si tu jefe te paga $5 π d \overset{´}{o} lares por hora$ , ¿cuánto dinero ganas por hora?

c.

Si un arco mide $π$ pies, ¿cuántos pies mide?

d.

Si un arco de un círculo mide $π radianes$ y el radio del círculo mide $9 pulgadas$ , ¿cuántas pulgadas mide el arco?

2.

Dibuja un ángulo central en el círculo.
¿Qué necesitas saber para dibujar un ángulo central?
Dibuja un ángulo inscrito que genere el mismo arco que el ángulo central que dibujaste.
¿Qué relación hay entre la medida del ángulo central y la medida del ángulo inscrito correspondiente?