Lección 2 De los polígonos a los círculos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Representa cada una de las siguientes situaciones con una tabla, una gráfica y una ecuación:

a.

Tu familia planea hacer un viaje pronto. Te detienes en la gasolinera para tanquear el automóvil. Observas que el surtidor bombea la gasolina a una tasa de $2.5$ galones por minuto.

b.

Ya estás en la carretera y fijas el control de velocidad a $75$ millas por hora.

c.

Observas que a esta velocidad, la eficiencia de combustible de tu automóvil es de $30$ millas por galón.

2.

¿Qué tienen en común todos estos problemas?

Focos de aprendizaje

Relacionar la circunferencia y el área de los círculos con el perímetro y el área de los polígonos regulares.

¿Cómo se obtienen $π$ y las fórmulas para calcular la circunferencia y el área de un círculo?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Parte 1: Del perímetro a la circunferencia

En la lección anterior, “El diseño de un kiosco”, desarrollaste una estrategia para encontrar el perímetro de un polígono regular de $n$ lados que estaba inscrito en un círculo de radio $r$ . La estrategia de Tehani se basa en la siguiente fórmula:

$P = 2 n \cdot r \sin (\frac{360 °}{2 n})$ Tehani dibujó este diagrama como ayuda para descubrir esta fórmula.

1.

Explica cómo obtuvo Tehani su fórmula. Usa su diagrama como ayuda.

2.

Como $n$ es lo único que cambia en esta fórmula, Travis le sugiere a Tehani que reescriba su fórmula así:

$P = 2 r [n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n})]$ . Cuando $n$ es grande, el perímetro de un polígono de $n$ lados es una aproximación de la circunferencia de un círculo. Por eso, Travis sugiere que analicen, para valores de $n$ cada vez más grandes, qué le pasa a esta parte de la fórmula: $n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n})$ . Completa la siguiente tabla y analiza el patrón. Usa una calculadora o una hoja de cálculo.

$n$	$n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n})$
$6$
$12$
$24$
$48$
$96$
$100$
$1, 000$
$10, 000$

3.

¿Qué pasa a medida que el número de lados del polígono, $n$ , aumenta? ¿Qué le ocurre al valor de la expresión $n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n})$ ?

4.

Escribe una fórmula de la circunferencia de un círculo a partir de la fórmula de Tehani del perímetro de un polígono regular de $n$ lados que está inscrito en un círculo. También escribe lo que observaste mientras completabas la tabla anterior.

Parte 2: Del área de un polígono al área de un círculo

Área: Estrategia #1

La fórmula de Tehani del área de un polígono regular de $n$ lados que está inscrito en un círculo de radio $r$ es:

$A = \frac{1}{2} \cdot 2 n \cdot r \sin (\frac{360 °}{2 n}) \cdot r \cos (\frac{360 °}{2 n})$

5.

Explica en detalle cómo obtuvo Tehani esta fórmula. Puedes consultar el diagrama de Tehani del problema 1.

6.

Travis sugiere reescribir la fórmula de Tehani en la forma $A = r^{2} [n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n}) \cdot \cos (\frac{360 °}{2 n})]$ y analizar qué le ocurre a la última parte cuando $n$ toma valores cada vez más grandes. Completa la siguiente tabla y analiza el patrón. Usa una calculadora o una hoja de cálculo.

$n$	$n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n}) \cdot \cos (\frac{360 °}{2 n})$
$6$
$12$
$24$
$48$
$96$
$100$
$1, 000$
$10, 000$

7.

A medida que el número de lados del polígono, $n$ , aumenta, ¿qué le ocurre al valor de la expresión $n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n}) \cdot \cos (\frac{360 °}{2 n})$ ?

8.

Escribe una fórmula del área de un círculo a partir de la fórmula de Tehani del área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en un círculo. También escribe lo que observaste mientras completabas la tabla anterior.

Área: Estrategia #2

Un círculo se puede descomponer en un conjunto de anillos delgados y concéntricos, como se muestra al lado izquierdo del siguiente diagrama. Al desenrollar los anillos y apilarlos, obtenemos una figura que se aproxima a un triángulo, como se ve.

9.

Describe la altura de este “triángulo” con respecto al círculo.

10.

Describe la longitud de la base de este “triángulo” con respecto al círculo.

11.

A medida que los anillos se hacen cada vez más angostos, la figura “triangular” se parece cada vez más a un triángulo exacto que tiene la misma área del círculo. ¿Qué parece indicar este diagrama sobre la fórmula del área de un círculo?

Área: Estrategia #3

Un círculo se puede descomponer en un conjunto de sectores congruentes. Como se muestra en el diagrama, podemos reorganizar estos sectores para obtener una figura que se aproxima a un paralelogramo.

12.

Describe la altura de este “paralelogramo” con respecto al círculo.

13.

Describe la longitud de la base de este “paralelogramo” con respecto al círculo.

14.

A medida que descomponemos el círculo en más y más sectores, el “paralelogramo” se parece cada vez más a un paralelogramo exacto que tiene la misma área del círculo. ¿Qué parece indicar este diagrama sobre la fórmula del área de un círculo?

¿Listo para más?

1.

a.

Completa la siguiente tabla del área de varios círculos usando la fórmula que se dedujo en la sección “Exploración”: $A = π r^{2}$ . Aproxima el área al número entero más cercano. (Usa el siguiente hecho: $π \approx 3$ ).

$r$	$r^{2}$	$A$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$

b.

Grafica $A$ como función de $r$ .

c.

Grafica $A$ como función de $r^{2}$ .

2.

¿El área de un círculo es proporcional al radio? ¿Por qué sí o por qué no?

3.

¿Por qué tiene sentido decir que $π$ es una constante de proporcionalidad del área? ¿A qué es proporcional el área de un círculo?

Aprendizajes

El perímetro de un polígono regular es proporcional al diámetro del círculo en el que está inscrito.

La constante de proporcionalidad $k$ es diferente para cada tipo diferente de polígono regular (hexágono, octágono, dodecágono, etc.), pero se puede calcular usando la fórmula

A medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta, el perímetro del polígono

Esto nos lleva a descubrir la fórmula de la circunferencia del círculo:

Por un razonamiento similar, a medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta, el área del polígono

Esto nos lleva a descubrir la fórmula del área del círculo:

Vocabulario

convergencia
límite (convergencia)
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

Anteriormente, aprendimos las fórmulas de la circunferencia y del área de un círculo, y las usamos en problemas de aplicación. En esta lección aprendimos cómo se obtienen estas fórmulas. También nos hicimos una mejor idea de por qué $π$ es un número tan importante y de cómo aparece de manera natural en el contexto donde los polígonos regulares se relacionan con los círculos en los que están inscritos.

Repaso

1.

Encuentra el perímetro y el área de la figura.

(Supón que el diámetro del cono es igual al diámetro del helado).

2.

Usa el círculo dado para encontrar las medidas que se indican.

a.

la circunferencia total del círculo

b.

la fracción de la circunferencia correspondiente al sector marcado

c.

la longitud de arco más corta $\overset{⌢}{B C}$ (del arco generado por el ángulo central)

(El arco más corto de $B$ a $C$ se llama el arco menor. El arco más largo de $B$ a $C$ alrededor del círculo se llama el arco mayor).