Lección 9 Sumemos castillos de arena Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Encuentra la suma de los primeros 5 términos de esta sucesión geométrica. Muestra todo lo que hiciste.

$f (1) = 4, f (n) = \frac{1}{2} \cdot f (n - 1)$

2.

Escribe una ecuación explícita de los términos de la sucesión geométrica del problema 1.

3.

¿Aproximadamente cuál crees que sería la suma de los primeros $100$ términos de la sucesión geométrica del problema 1?

Focos de aprendizaje

Encontrar la suma de una sucesión geométrica.

¿Cómo puedo sumar los términos de una sucesión geométrica de manera eficiente sin tener que sumarlos de uno en uno?

¿Cómo puedo diseñar una torre de cubos apilados en la que el volumen aumente de manera geométrica y el volumen total sea igual a un valor predeterminado?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Benji, Chau y Kassandra quieren poner a prueba sus diseños del castillo de arena usando modelos en plastilina. Cada parte del castillo se puede moldear por separado. Después, las partes se pueden ensamblar para crear un modelo que pueden llevar a la competencia de esculturas de arena.

Ellos deciden que el castillo tendrá una torre hecha de cubos apilados. La longitud de lado de cada cubo será el doble de la longitud de lado del cubo que está justo encima de él.

1.

Se decide que el primer cubo (el de más arriba) tendrá una longitud de lado de $1$ pulgada. Encuentra la longitud de lado de los cuatro cubos siguientes que están en la torre:

$1$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$

Benji, Chau y Kassandra no han decidido cuántos cubos va a tener la torre.

2.

Usando la información dada, escribe una expresión de la longitud de lado del $n - \overset{´}{e} simo$ cubo de esta sucesión.

Benji recuerda que necesitan calcular el volumen de la arena que usarán para construir la torre de cubos apilados. Él sugiere que primero calculen el volumen de una torre que tiene $4$ cubos.

3.

Encuentra la suma de los volúmenes de los primeros $4$ cubos de la torre.

a.

Muestra todos tus cálculos.

b.

Representa la suma usando notación de suma.

Chau cree que el cubo de $1$ pulgada de lado es demasiado pequeño. Ella propone que usen cuatro cubos, pero que el cubo de arriba sea de $2$ pulgadas de lado.

4.

Encuentra la suma de los volúmenes de los $4$ cubos de esta torre.

a.

Muestra todos tus cálculos.

b.

Representa la suma usando notación de suma.

Los amigos todavía no han decidido cuántos cubos incluir en la torre. Por eso, Kassandra quiere encontrar una fórmula para calcular el volumen total de arena sin tener que sumar los volúmenes de cada cubo por separado. Los cálculos de Benji y Chau le ayudan a pensar en esto. Kassandra representa la suma de $n$ cubos como $S_{n}$ y se da cuenta de que como Chau empezó con el segundo cubo en la sucesión de Benji, entonces la suma de $n$ cubos de Chau es igual a $8 \cdot S_{n}$ .

5.

Usa el diagrama para explicar por qué la siguiente afirmación de Kassandra es verdadera: “El volumen de arena que hay en $n$ cubos de la torre de Chau es $8$ veces el volumen de arena que hay en $n$ cubos de la torre de Benji”.

6.

Encuentra una expresión equivalente a $8 \cdot S_{n} - S_{n}$ . Para ayudarte, quita el cubo de más arriba en la torre de Benji y agrega un cubo extra abajo en la torre de Chau.

7.

Usando la expresión que encontraste en el problema 6, junto con el hecho de que $8 \cdot S_{n} - S_{n} = S_{n} (8 - 1)$ , encuentra una fórmula que permita calcular $S_{n}$ para cualquier número de cubos, $n$ , que tenga la torre.

8.

Comprueba que tu fórmula es válida para la suma de los volúmenes de los cuatro cubos de la torre de Benji.

Haz una pausa y reflexiona

Benji cree que los cubos crecen demasiado rápido y que eso le resta atractivo al diseño de la torre. Por eso, propone que el primer cubo, abajo en la base, tenga $1,600 {pulgadas}^{3}$ de volumen y que cada cubo nuevo tenga $\frac{3}{4}$ del volumen del cubo que está justo debajo.

9.

Si el cubo de más abajo tiene un volumen de $1,600 {pulgadas}^{3}$ , encuentra el volumen de los cuatro cubos siguientes de la torre:

$1,600$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$ , $\underset{―}{}$

10.

Usando la información dada, escribe una expresión del volumen del $n - \overset{´}{e} simo$ cubo de esta sucesión.

Chau cree que el volumen del cubo de más abajo es demasiado grande. Propone crear una torre que en la base tenga el segundo cubo que está en la torre de Benji.

11.

Encuentra una fórmula de la suma de los volúmenes de los primeros $n$ cubos de la torre de Benji. Para esto, usa la estrategia de Kassandra: comparar las torres de Benji y Chau de los problemas del 5 al 8.

12.

Encuentra una fórmula general de la siguiente suma de términos:

$S_{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + \dots + a r^{n - 1}$

13.

Diseña una torre de cubos que tenga entre $8,000 {in}^{3}$ y $10,000 {in}^{3}$ de arena. Escribe el volumen del primer cubo, la razón común entre los volúmenes de cubos consecutivos y el número de cubos de la torre.

¿Listo para más?

Desde su primer cumpleaños, los padres de Benji han depositado $$ 100$ cada año en una cuenta bancaria. La cuenta paga un interés del $5 %$ anual. Cada depósito de $$ 100$ ha ganado intereses durante un periodo de tiempo diferente. Benji se pregunta cuánto dinero tendrá en la cuenta en su cumpleaños número 21.

Inmediatamente después de que sus padres hagan el depósito número 21 (el día que cumpla 21 años), Benji planea retirar todo el dinero de la cuenta para el pago inicial de un automóvil.

a.

Si Benji retira todo el dinero de la cuenta en su cumpleaños número 21, ¿cuánto dinero de la cantidad total proviene de los $$ 100$ que se depositaron en la cuenta en su primer cumpleaños?

b.

¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los $$ 100$ que se depositaron en la cuenta en su cumpleaños número 5?

c.

¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los $$ 100$ que se depositaron en la cuenta en su cumpleaños número 10?

d.

¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los $$ 100$ que se depositaron en la cuenta en su cumpleaños número 21, justo antes de que retirara todo el dinero de la cuenta?

e.

¿Cuánto dinero hay en la cuenta de Benji en su cumpleaños número 21?

Aprendizajes

La suma de $n$ términos de una sucesión geométrica, $S_{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + \dots + a r^{n - 1}$ , está dada por la fórmula ,

en donde

Notación, convenciones y vocabulario

La notación de suma se puede usar para representar la suma de una sucesión de términos.

Por ejemplo, la suma $4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ se puede representar como $\sum_{n = o}^{4} \frac{4}{2^{n}}$ . Al evaluarla, se obtiene .

Si los términos que se suman forman una sucesión geométrica, entonces la suma de los términos se llama una .

Vocabulario

notación de suma
serie geométrica
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo encontrar la suma de los términos de una sucesión geométrica sin tener que sumar los términos de la sucesión de uno en uno.

Repaso

1.

Una pelota se golpea hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de $96^{\frac{ft}{s}}$ . La altura a la que está la pelota con respecto al tiempo, en segundos, se puede modelar con la función $f (t) = - 16 t^{2} + 96 t$ .

El valor de $f (t) = - 16 t^{2} + 96 t$ comienza en $0$ y aumenta hasta alcanzar un valor máximo. Después, disminuye y toma de nuevo el valor de $0$ , al volver la pelota a la superficie. Calcula el tiempo en segundos que la pelota estará en el aire. (Pista: Completa el cuadrado).

2.

Demuestra que $△ A B C ≅ △ G E F$ .

3.

Demuestra que $△ A B C ≅ △ C D A$ .