Lección 8 Tesoros ancestrales Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar métodos de muestreo aleatorio y encontrar medias y proporciones de muestras aleatorias.

Cuando los investigadores no pueden medir toda la población, ¿cómo encuentran promedios y porcentajes de una población?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Alyce, Javier y Verónica han tenido un progreso importante en la zona arqueológica que delimitaron con varas. Han desenterrado varios objetos en distintos sectores y ya tienen una colección de $300$ objetos con una edad determinada.

La lista de los objetos y su edad están registradas en una tabla. Este es un histograma de los datos:

1.

¿Qué observas acerca de los objetos basándote en el conjunto de datos y en el histograma? ¿Qué preguntas podrías hacer sobre los datos?

Mientras Alyce mira los datos se hace dos preguntas: ¿Cuál es la edad promedio de los objetos? ¿Qué proporción de estos objetos tienen más de $1,000$ años? Hay muchos datos y ella en realidad no quiere encontrar el promedio ni la proporción usando los $300$ objetos. Alyce decide que puede estimar la edad promedio $μ$ y la proporción $p$ tomando una muestra de los $300$ objetos. Javier piensa que es una buena idea, pero también sugiere que podrían obtener una mejor estimación si cada uno toma una muestra. Luego, a partir de sus muestras, cada uno encuentra la edad promedio de esos objetos y la proporción de esos objetos que tienen más de $1,000$ años, y las comparan entre sí. Sugiere que cada uno tome una muestra de $5$ objetos.

2.

a.

Escoge y describe un método de muestreo que podrías usar para escoger una muestra aleatoria de $5$ objetos de la lista.

b.

Usa tu método de muestreo para escoger aleatoriamente una muestra de $5$ objetos. Escribe el promedio y la proporción de tu muestra.

${\overset{―}{x}}_{5} (el promedio de la muestra) =$

${\hat{p}}_{5} (la proporci \overset{´}{o} n de la muestra) =$

c.

Con base en tu muestra, haz una predicción de la edad promedio real de todos los objetos.

3.

Para ayudarle a los arqueólogos, toma $3$ muestras de $5$ objetos y anota sus edades. Encuentra la edad promedio y la proporción de objetos que tienen más de $1,000$ años de cada muestra, y anótalas en la siguiente tabla. Cuando termines de encontrar las medias y las proporciones de tus muestras, agrégalas a la gráfica de la clase.

Edad promedio

${\overset{―}{x}}_{5}$

Proporción de objetos de la muestra que tienen más de $1,000$ años

${\hat{p}}_{5}$

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Mientras Alyce mira la gráfica que crearon, observa que se ve un poco distinta de la gráfica de los $300$ objetos originales.

4.

Compara esta nueva gráfica con la gráfica de la población de todos los $300$ objetos. ¿En qué se parecen? ¿Qué cambió?

5.

Explica la diferencia que hay entre la manera como se creó esta nueva gráfica y la manera como se creó la gráfica de los $300$ objetos.

Haz una pausa y reflexiona

Mientras Verónica mira las gráficas, todavía se pregunta si está bien usar únicamente $5$ objetos para hacer una predicción sobre el promedio de todos los $300$ . Ella dice: “Tengo curiosidad sobre cómo cambiarían estas gráficas si hiciéramos lo mismo con una muestra de más de $5$ . ¿Qué pasaría si tomáramos una muestra de $10$ ? ¿O qué tal si tomáramos una muestra de $30$ ?”. Javier sugiere que repitan lo que acaban de hacer tomando muestras de tamaño más grande y que luego comparen esas gráficas.

6.

Toma $3$ muestras de tamaño $10$ y luego $3$ muestras de tamaño $30$ . Comparte tus resultados con el resto de la clase. Luego, haz las gráficas de las muestras de tamaño $10$ y de las muestras de tamaño $30$ .

Edad promedio

${\overset{―}{x}}_{10}$

Proporción de objetos de la muestra que tienen más de $1,000$ años

${\hat{p}}_{10}$

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Edad promedio

${\overset{―}{x}}_{30}$

Proporción de objetos de la muestra que tienen más de $1, 000$ años

${\hat{p}}_{30}$

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

7.

Compara y contrasta las distribuciones de estas gráficas con la original y escribe tus observaciones.

Haz una pausa y reflexiona

8.

Si fueras a tomar una muestra y a usarla para predecir la edad promedio de todos los $300$ objetos, ¿sería mejor tomar una muestra de $5$ , de $10$ o de $30$ ? Usa las gráficas para justificar tu respuesta.

¿Listo para más?

Escribe un ejemplo en el que sea casi imposible encontrar la media de la población, pero que sea posible tomar una muestra aleatoria para encontrar la media de la muestra.

Aprendizajes

Teorema del límite central:

Dada una población con media $μ$ y desviación estándar $σ$ :

Notación, convenciones y vocabulario

Parámetro:

Media de una población:

Proporción de una población:

Estadístico de una muestra:

Media de una muestra:

Proporción de una muestra:

Vocabulario

estadístico de una muestra
inferencia (estadística)
media de una muestra
media de una población
parámetro
proporción de una muestra
proporción de una población
teorema del límite central (TLC)
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección tomamos muestras de una población, y usamos la media y la proporción de la muestra para estimar la media real y la proporción real de la población. A estas últimas las llamamos los parámetros de la población. Aprendimos el teorema del límite central, que dice que si la muestra es suficientemente grande, las medias y las proporciones de la muestra tendrán una distribución normal.

Repaso

1.

Encuentra el cociente y el residuo de la división de polinomios. Luego, indica si el binomio es un factor del polinomio.

$(x^{5} - 16 x^{3} + 5 x - 20) \div (x - 4)$

2.

Dado que: $θ = \tan^{- 1} (- 2.145)$ . Encuentra dos ángulos $θ$ que hagan que la ecuación sea verdadera. (Recuerda que $0 < θ \leq 2 π$ ).