Lección 3 ¿Por qué ser normal? Consolido lo que aprendí

Como funcionario de admisiones debes evaluar cientos de aplicaciones de estudiantes que quieren asistir a tu universidad. Muchos de ellos tienen buenas calificaciones, han participado en actividades escolares, han hecho servicio comunitario y tienen todo tipo de cualidades que los hacen excelentes candidatos para asistir a la universidad que representas. Una parte de la aplicación que se mira con cuidado es el puntaje del candidato en el examen de admisión universitario. En tu universidad algunos estudiantes presentaron el ACT y algunos presentaron el SAT.

Tienes que tomar una decisión final entre dos candidatos. Ambos son estudiantes estupendos, tienen el mismo promedio de calificaciones y la misma posición en la clasificación de su clase. Todo se define con sus puntajes en los exámenes. El estudiante A presentó el ACT y obtuvo un puntaje de en matemáticas. El estudiante B presentó el SAT y obtuvo un puntaje de en matemáticas. Como tú eres experto en los exámenes de admisión universitarios, sabes que ambos exámenes están diseñados para tener una distribución normal. es un puntaje perfecto en el ACT. La sección de matemáticas del ACT tiene una media de y una desviación estándar de . (Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Educación, 2010). es un puntaje perfecto en la sección de matemáticas del SAT. La sección de matemáticas del SAT tiene una media de y una desviación estándar de . (Fuente: www.collegeboard.com, perfil del 2010).

Este análisis te hizo dar hambre, así que llamas a tu amiga del departamento de estadística de la universidad y le pides que vaya a almorzar contigo. Durante el almuerzo, le cuentas tu dilema. La conversación sucede más o menos así:

Tú: No estoy segura de estar tomando la decisión correcta sobre a cuál de los dos estudiantes admitir en la universidad. Sus puntajes en los exámenes de admisión parecen estar en el mismo lugar de la distribución, pero no sé cuál es mejor. Es como tratar de descifrar cuál bolsa de frutas pesa más, cuando el peso de una está en kilogramos y el peso de la otra está en libras. Puede que parezca que son aproximadamente la misma cantidad, pero no puedes encontrar la diferencia exacta a menos de que las pongas en la misma balanza o las conviertas a la misma unidad.

Especialista en estadística: De hecho, hay un método para hacer comparaciones de dos distribuciones normales distintas. Es como convertir los puntajes a la misma unidad. La escala se llama la “distribución normal estándar”. Como el método se inventó para que fuera más fácil pensar en una distribución normal, está hecho para que la media sea y la desviación estándar sea .

Esto es lo que dibujó tu amiga especialista en estadística en su servilleta para mostrarte la distribución normal estándar:

Tú: Bueno, así es como yo siempre me imagino las distribuciones normales.

Especialista en estadística: Sí, es muy simple. Cuando usamos esta escala, le damos a las cosas un puntaje . Un puntaje de significa que está desviación estándar por encima de la media. Un puntaje de significa que está entre y desviaciones estándar por debajo de la media. Muy fácil. Y hay algo que es aún mejor. Cuando tenemos un puntaje , hay tablas que te muestran el área bajo la curva que está a la izquierda de ese puntaje, la cual corresponde al porcentaje de la población. Para un puntaje en un examen, como el ACT o el SAT, te muestra el porcentaje de la población (o de la muestra) que está por debajo de ese puntaje. Tengo una tabla de puntajes aquí en mi cartera. Mira, el puntaje es , entonces aproximadamente el de la población obtuvo un puntaje menor.

Inténtalo: Digamos que tienes dos estudiantes imaginarios que presentaron el examen, el estudiante C y el estudiante D. El puntaje del estudiante C fue y el puntaje del estudiante D fue .

Haz una pausa y reflexiona

Tú: Eso es genial, pero los dos puntajes con los que estoy trabajando no los tengo como puntajes . ¿Hay alguna forma en la que pueda convertir los valores de una distribución normal, como los puntajes en el ACT o en el SAT, en puntajes ?

Especialista en estadística: Por supuesto. La escala no sería tan sorprendente si no pudieras usarla para cualquier distribución. Hay una fórmula sencilla para transformar cada punto de dato de una distribución normal en un punto de dato de su distribución normal estándar correspondiente:

Tú: Genial. Voy a volver a la oficina a decidir cuál estudiante será admitido.