Lección 9Dos gráficas para cada relación

Objetivo de aprendizaje

Usemos tablas, ecuaciones y gráficas para responder preguntas sobre relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje

  • Puedo escribir una ecuación que representa una relación proporcional a partir de una gráfica.

  • Puedo interpretar una gráfica de una relación proporcional usando la situación.

Términos de la lección

  • origen
  • plano de coordenadas

Calentamiento: Verdadero o falso: fracciones y decimales

Problema 1

Decide si cada ecuación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Actividad 1: Tablas, gráficas y ecuaciones

Problema 1

Explora la gráfica. Observa los valores en la tabla y las coordenadas del punto marcado. Selecciona el punto y muévelo. 

  1. ¿Qué permanece igual y qué cambia en la tabla?, ¿en la ecuación?, ¿en la gráfica?

    • Elige una fila en la tabla y escríbela aquí. ¿A qué corresponde esta fila en la gráfica?

  3. Sostén el punto y arrástralo hasta que veas la ecuación .

    • No muevas el punto. Elige tres filas de la tabla, diferentes al origen. Escribe y , y calcula .

  4. ¿Qué observas? ¿Qué tiene que ver esto con la ecuación de la recta?

  5. No muevas el punto. Marca la casilla para ver las coordenadas . ¿Cuáles son las coordenadas de este punto? ¿A qué corresponde esto en la tabla? ¿A qué corresponde esto en la ecuación?

  6. Arrastra el punto hasta una ubicación diferente. Escribe la ecuación de la recta, las coordenadas de tres puntos y el valor de .

    Ecuación de la recta:

  7. Con base en tus observaciones, resume todas las conexiones que hayas visto entre la tabla, las características de la gráfica y la ecuación. 

versión impresa

Tu profesor te asignará uno de estos tres puntos:

, , .

NA

  1. En la gráfica, ubica y marca únicamente el punto que te asignaron.

  2. Usa una regla para alinear tu punto con el origen, . Dibuja una recta que comience en el origen, pase por tu punto y continúe hasta el borde de la gráfica.

  3. Completa la tabla con las coordenadas de los puntos en tu gráfica. Usa una fracción para representar cualquier valor que no sea un número entero.

  4. Escribe una ecuación que represente la relación entre y definida por tu punto.

  5. Compara tu gráfica y tu tabla con las de los demás integrantes de tu grupo. Indica en qué se parecen y en qué se diferencian:

    • sus tablas

    • sus ecuaciones

    • sus gráficas

  6. ¿Cuál es la coordenada de tu gráfica cuando la coordenada es 1? Ubica y marca este punto en tu gráfica. ¿Dónde ves este valor en la tabla? ¿Dónde ves este valor en tu ecuación?

  7. Describe todas las conexiones que veas en la tabla, las características de la gráfica y la ecuación. 

¿Estás listo para más?

Problema 1

La gráfica de una ecuación de la forma , donde es un número positivo, es una recta que pasa por y el punto .

  1. Nombra al menos una recta que pase por que no pueda ser representada por una ecuación como esta.

  2. Si pudieras dibujar las gráficas de todas las ecuaciones de esta forma en el mismo plano de coordenadas, ¿cómo se verían?

Actividad 2: Concurso de comer perros calientes

Problema 1

Andre y Jada participaron en un concurso de comer perros calientes. Andre comió 10 perros calientes en 3 minutos. Jada comió 12 perros calientes en 5 minutos.

  1. Los puntos que aparecen en el primer par de ejes muestran información sobre lo que comieron Andre y Jada. ¿Cuál punto muestra lo que comió Andre y cuál muestra lo que comió Jada? Márcalos.

  2. Dibuja dos rectas: una que pasa por el origen y el punto de Andre, y otra que pasa por el origen y el punto de Jada. Escribe una ecuación para cada recta. Utiliza para representar el tiempo en minutos y para representar el número de perros calientes.

  3. ¿Qué te dice la constante de proporcionalidad en cada caso?

  4. Los puntos que aparecen en el segundo par de ejes muestran información sobre lo que comieron Andre y Jada. ¿Cuál punto muestra lo que comió Andre y cuál muestra lo que comió Jada? Márcalos.

  5. Dibuja rectas desde el origen que pasen por cada uno de los dos puntos. Escribe una ecuación para cada recta. ¿Qué te dice la constante de proporcionalidad en cada caso?

versión impresa

Andre y Jada participaron en un concurso de comer perros calientes. Andre comió 10 perros calientes en 3 minutos. Jada comió 12 perros calientes en 5 minutos.

Estas son dos gráficas diferentes, pero ambas representan esta situación.

  1. En la primera gráfica, ¿cuál punto muestra lo que comió Andre y cuál muestra lo que comió Jada? Márcalos.

  2. Dibuja dos rectas: una que pase por el origen y el punto de Andre, y otra que pase por el origen y el punto de Jada.

  3. Escribe una ecuación para cada recta. Utiliza para representar el tiempo en minutos y para representar el número de perros calientes.

    1. Andre:

    2. Jada:

  4. En cada ecuación, ¿qué te dice la constante de proporcionalidad?

  5. Repite los pasos anteriores para la segunda gráfica.

    • Andre:

    • Jada:

Resumen de la lección

Imagina que un grifo tiene una gotera: está goteando a una tasa constante y cada 2 minutos 10 mililitros de agua gotean del grifo. Existe una relación proporcional entre el volumen de agua y el tiempo transcurrido.

  • Podríamos decir que el tiempo transcurrido es proporcional al volumen de agua. La constante de proporcionalidad correspondiente nos indica que el grifo gotea a una tasa de de un minuto por cada mililitro.

  • Podríamos decir que el volumen de agua es proporcional al tiempo transcurrido. La constante de proporcionalidad correspondiente nos indica que el grifo gotea a una tasa de 5 mililitros por cada minuto.

Utilicemos para representar el volumen en mililitros y para representar el tiempo en minutos. Estas son las gráficas y las ecuaciones que representan ambas maneras de pensar sobre esta relación:

Aunque la relación entre tiempo y volumen es la misma, en cada caso estamos haciendo una elección distinta de cuál variable ver como la variable independiente. La gráfica a la izquierda tiene a como la variable independiente y la gráfica a la derecha tiene a como la variable independiente.