Lección 15Área de un círculo

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos áreas de círculos.

Metas de aprendizaje

  • Conozco la fórmula del área de un círculo.

  • Sé si la relación que hay entre el diámetro y el área de un círculo es proporcional o no y puedo explicar cómo lo sé.

Términos de la lección

  • al cuadrado
  • área de un círculo

Calentamiento: Riego de un terreno

Problema 1

Un terreno circular está adentro de un cuadrado cuyos lados son de 800 m de longitud. Estima el área del campo.

  1. Aproximadamente 5,000 m

  2. Aproximadamente 50,000 m

  3. Aproximadamente 500,000 m

  4. Aproximadamente 5,000,000 m

  5. Aproximadamente 50,000,000 m

Actividad 1: Estimemos áreas de círculos

Problema 1

Tu profesor le dará a tu grupo dos círculos de tamaños diferentes.

  1. Fija el diámetro de tu círculo asignado y utiliza el applet para ayudarte a estimar el área del círculo.

    Nota: para crear un polígono, selecciona la herramienta “Polígono” y haz clic sobre cada vértice. Termina haciendo clic sobre el primer vértice nuevamente. Por ejemplo, para dibujar el triángulo , haz clic sobre ---.

  2. Registra el diámetro en la columna y el área correspondiente en la columna para tus círculos y los círculos de tus compañeros de clase.

    open applet in presentation mode

  3. En una lección anterior, ustedes graficaron la relación que había entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. ¿En qué se parece a esta gráfica? ¿En qué se diferencia?

versión impresa

Tu profesor le dará a tu grupo dos círculos de tamaños diferentes.

  1. Para cada círculo, utilicen los cuadrados del papel cuadriculado para medir el diámetro y estimar el área del círculo. Anoten sus medidas en esta tabla.

    diámetro (cm)

    área estimada (cm)

  2. Ubiquen los valores de la tabla en el plano de coordenadas. Después grafiquen los puntos de datos de la clase en su plano de coordenadas.

  3. En una lección anterior, ustedes graficaron la relación que había entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. ¿En qué se parece a esta gráfica? ¿En qué se diferencia?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Si se te dificulta, considera utilizar monedas u otros objetos circulares.

  1. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 2 unidades de radio sin que se superpongan?

  2. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 3 unidades de radio sin que se superpongan?

  3. ¿Cuántos círculos de radio 1 unidad puedes meter dentro de un círculo de 4 unidades de radio sin que se superpongan?

Actividad 2: Hagamos un polígono a partir de un círculo

Problema 1

Tu profesor te dará a ti y a tu compañero un objeto circular, un marcador y dos hojas de papel de colores diferentes.

Sigan estas instrucciones para crear una representación visual:

  1. Con un marcador grueso, tracen su círculo dos veces sobre la misma hoja en dos lugares separados.

  2. Recorten ambos círculos alrededor de la línea hecha con el marcador.

  3. Doblen y recorten uno de los círculos en cuartos.

  4. Organicen los cuartos de círculo de forma tal que los bordes rectos queden uno junto al otro y que los bordes curvos se alternen en la parte superior y la parte inferior. Hagan una pausa aquí para que su profesor pueda revisar el trabajo.

  5. Doblen y recorten los cuartos de círculo por la mitad para obtener octavos. Organicen los octavos de círculo uno junto al otro, como lo hicieron con los cuartos.

  6. Si los pedazos aún son lo suficientemente grandes, repitan el paso anterior para obtener dieciseisavos.

  7. Peguen el círculo que queda y la nueva figura sobre una hoja de papel de otro color.

Problema 2

Después de que terminen de pegar las figuras, responde las siguientes preguntas.

  1. ¿En qué se parecen o diferencian las áreas de las dos figuras?

  2. ¿Cuál es el polígono que más se parece a la figura hecha con los pedazos de círculo?

  3. ¿Cómo podrías hallar el área de este polígono?

versión impresa

Después de que terminen de pegar las figuras, responde las siguientes preguntas.

  1. ¿En qué se parecen o diferencian las áreas de las dos figuras?

  2. ¿Cuál es el polígono que más se parece a la figura hecha con los pedazos de círculo?

  3. ¿Cómo podrías hallar el área de este polígono?

Actividad 3: Hagamos otro polígono a partir de un círculo

Problema 1

Imagina un círculo hecho de anillos que pueden doblarse pero no estirarse.

Mira esta animación.

Creado en GeoGebra por timteachesmath.

  1. ¿A qué polígono se parece la nueva figura?

  2. ¿Cómo se compara el área del polígono con el área del círculo?

  3. ¿Cómo puedes hallar el área del polígono?

  4. Muestra, con pasos detallados, cómo podrías hallar el área del polígono en términos de las medidas del círculo. Muestra tu razonamiento. Organízalo de manera que otros puedan entenderlo.

  5. Cuando termines, intercambia los papeles con un compañero y comprueba el trabajo del otro. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Discutan:

    • ¿Están de acuerdo o en desacuerdo con cada paso?

    • ¿Hay alguna forma de hacer más clara la explicación?

  6. Revisa tu explicación basándote en la retroalimentación de tu compañero.

versión impresa

Imagina un círculo hecho de anillos que pueden doblarse pero no estirarse.

  1. ¿A qué polígono se parece la nueva figura?

  2. ¿Cómo se compara el área del polígono con el área del círculo?

  3. ¿Cómo puedes hallar el área del polígono?

  4. Muestra, con pasos detallados, cómo podrías hallar el área del polígono en términos de las medidas del círculo. Muestra tu razonamiento. Organízalo de manera que otros puedan entenderlo.

  5. Cuando termines, intercambia los papeles con un compañero y comprueba el trabajo del otro. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Discutan:

    • ¿Están de acuerdo o en desacuerdo con cada paso?

    • ¿Hay alguna forma de hacer más clara la explicación?

  6. Revisa tu explicación basándote en la retroalimentación de tu compañero.

Resumen de la lección

La circunferencia, , de un círculo es proporcional al diámetro, , y podemos escribir esta relación como . La circunferencia también es proporcional al radio del círculo y la constante de proporcionalidad es porque el diámetro es el doble de largo que el radio, así que . Sin embargo, el área del círculo no es proporcional al diámetro (ni al radio).

Para encontrar el área de un círculo, podemos calcular el producto de la mitad de la circunferencia por el radio. Si es el área del círculo, esto resulta en la ecuación:

Esta ecuación se puede reescribir así:

(Recuerda que cuando tenemos , podemos escribir y decir “ al cuadrado”).

Esto significa, que si conocemos el radio, podemos encontrar el área. Por ejemplo, si el radio de un círculo es 10 cm, entonces su área es aproximadamente , que es 314 cm.

Si conocemos el diámetro, podemos hallar el radio y luego encontrar el área. Por ejemplo, si el diámetro de un círculo es 30 ft, entonces su radio es 15 ft y su área es aproximadamente , que es más o menos 707 ft.