Lección 10¿Qué tan bien puedes medir?

Objetivo de aprendizaje

Veamos con cuánta exactitud podemos medir.

Metas de aprendizaje

Comprendo que puede ser difícil medir las cantidades de una relación proporcional de manera exacta.
Puedo analizar cocientes y usar una gráfica para decidir si dos cantidades relacionadas están en una relación proporcional.

Calentamiento: Estimemos un porcentaje

Un estudiante respondió 16 preguntas correctamente de las 21 que tenía un quiz. Haz una estimación mental para responder estas preguntas.

¿El estudiante respondió menos o más del 80% de las respuestas correctamente?
¿El estudiante respondió menos o más del 75% de las respuestas correctamente?

Actividad 1: Perímetro de un cuadrado

Su profesor les dará una imagen de 9 cuadrados diferentes y le asignará a su grupo 3 de estos cuadrados para que los examinen más de cerca.

Para cada uno de los cuadrados asignados, midan la longitud de la diagonal y el perímetro del cuadrado en centímetros.
Revisen sus medidas en grupo. Después de llegar a un acuerdo, anoten sus mediciones en la tabla.
diagonal (cm)
perímetro (cm)
cuadrado $A$
cuadrado $B$
cuadrado $C$
cuadrado $D$
cuadrado $E$
cuadrado $F$
cuadrado $G$
cuadrado $H$
cuadrado $I$
Grafiquen los valores de la diagonal y el perímetro de la tabla en el plano de coordenadas.
¿Qué observan acerca de los puntos en la gráfica?
Hagan una pausa para que su profesor pueda revisar su trabajo.
Anoten las medidas de los otros cuadrados para completar su tabla.

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Su profesor les dará una imagen de 9 cuadrados diferentes y le asignará a su grupo 3 de estos cuadrados para que los examinen más de cerca.

Para cada uno de los cuadrados asignados, midan la longitud de la diagonal y el perímetro del cuadrado en centímetros.
Revisen sus medidas en grupo. Después de llegar a un acuerdo, anoten sus mediciones en la tabla.
diagonal (cm)
perímetro (cm)
cuadrado $A$
cuadrado $B$
cuadrado $C$
cuadrado $D$
cuadrado $E$
cuadrado $F$
cuadrado $G$
cuadrado $H$
cuadrado $I$
Grafiquen los valores de la diagonal y el perímetro de la tabla en el plano de coordenadas.
¿Qué observan acerca de los puntos en la gráfica?
Hagan una pausa para que su profesor pueda revisar su trabajo.
Anoten las medidas de los otros cuadrados para completar su tabla.

Actividad 2: Área de un cuadrado

Problema 1

En la tabla, escriban la longitud de la diagonal para cada uno de los cuadrados que les asignaron en la actividad anterior. Después, calculen el área de cada uno de sus cuadrados.

	diagonal (cm)	área (cm $^{2}$ )
cuadrado $A$
cuadrado $B$
cuadrado $C$
cuadrado $D$
cuadrado $E$
cuadrado $F$
cuadrado $G$
cuadrado $H$
cuadrado $I$

Hagan una pausa aquí para que el profesor pueda revisar su trabajo. Prepárense para compartir sus valores con la clase.

Problema 2

Analicen la gráfica con los valores de toda la clase. ¿Qué observan?

Problema 3

¿En qué se parece la relación entre la diagonal y el área de un cuadrado a la relación entre la diagonal y el perímetro de un cuadrado de la actividad anterior? ¿En qué se diferencia?

¿Estás listo para más?

Este es un bosquejo del mapa de un vecindario.

Hay 4 rutas de correo durante la semana.

El lunes, el camión del correo sigue la ruta A-B-E-F-G-H-A, que tiene 14 millas de largo.
El martes, el camión del correo sigue la ruta B-C-D-E-F-G-B, que tiene 22 millas de largo.
El miércoles, el camión del correo sigue la ruta A-B-C-D-E-F-G-H-A, que tiene 24 millas de largo.
El jueves, el camión del correo sigue la ruta B-E-F-G-B.

¿Qué tan larga es la ruta los jueves?

Resumen de la lección

Cuando medimos los valores de dos cantidades relacionadas, marcar las mediciones en el plano de coordenadas nos puede ayudar a decidir si tiene sentido modelarlas con una relación proporcional. Si los puntos están cerca a una recta que pasa por $(0, 0)$ , entonces una relación proporcional es un buen modelo. Por ejemplo, esta es una gráfica de los valores de la altura, medida en milímetros, de diferentes cantidades de centavos colocados en una pila.

Como los puntos se parecen a una recta que pasa por $(0, 0)$ , la altura de la pila de centavos parece ser proporcional a la cantidad de centavos en una pila. Esto tiene sentido porque podemos ver que las alturas de los centavos solo varían un poco.

Otra manera de investigar si una relación es proporcional o no, es hacer una tabla. Estos son algunos datos del peso de diferentes cantidades de centavos en gramos, junto con la cantidad correspondiente de gramos por cada centavo.

número de centavos	gramos	gramos por cada centavo
$1$	$3.1$	$3.1$
$2$	$5.6$	$2.8$
$5$	$13.1$	$2.6$
$10$	$25.6$	$2.6$

A pesar de que podríamos esperar que esta relación fuera proporcional, los cocientes no se parecen mucho unos a otros. De hecho, el metal en los centavos cambió en 1982 y los centavos más viejos son más pesados. ¡Esto explica por qué el peso por cada centavo de cantidades de centavos diferentes es tan distinto!