Lección 3Relaciones a escala

Objetivo de aprendizaje

Encontremos relaciones entre factores de escala.

Metas de aprendizaje

Puedo describir el efecto que tiene sobre una copia a escala usar un factor de escala que es mayor que 1, menor que 1 o igual a 1.
Puedo explicar cómo se relaciona el factor de escala que lleva la figura A a su copia, la figura B, con el factor de escala que lleva la figura B a la figura A.

Términos de la lección

copia a escala
correspondiente
factor de escala

Calentamiento: Tres cuadriláteros (Parte 1)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los demás.

Nombra dos parejas de ángulos correspondientes. ¿Qué puedes decir sobre el tamaño de estos ángulos?
Verifica tu predicción midiendo por lo menos una pareja de ángulos correspondientes con un transportador. Escribe tus mediciones aproximando al múltiplo de $5^{\circ}$ más cercano.

Actividad 1: Tres cuadriláteros (Parte 2)

Problema 1

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los otros. Ya revisaste sus ángulos correspondientes.

Es difícil encontrar las longitudes de lado de los polígonos a partir de la cuadrícula, pero hay otras distancias correspondientes que son más fáciles de comparar. Identifica las distancias de los otros dos polígonos que corresponden a $D B$ y $A C$ y escríbelas en la tabla.

cuadrilátero	distancia que corresponde a $D B$	distancia que corresponde a $A C$
$A B C D$	$D B = 4$	$A C = 6$
$E F G H$
$I J K L$

Problema 2

Mira los valores de la tabla. ¿Qué observas?

Problema 3

La figura más grande es una copia a escala de la figura más pequeña.

Si $A E = 4$ , ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la segunda figura? Explica o muestra tu razonamiento.
Si $I K = 5$ , ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la primera figura? Explica o muestra tu razonamiento.

Actividad 2: Clasificación de tarjetas de copias a escala

Tu profesor te dará un grupo de tarjetas. En cada tarjeta, la figura A es la original y la figura B es la copia a escala.

Clasifica las tarjetas con base en sus factores de escala. Prepárate para explicar tu razonamiento.
Analiza las tarjetas 10 y 13 con más atención. ¿Qué observas sobre las figuras y tamaños de las figuras? ¿Qué observas sobre los factores de escala?
Analiza las tarjetas 8 y 12 con más atención. ¿Qué observas sobre las figuras? ¿Qué observas sobre los factores de escala?

¿Estás listo para más?

El triángulo $B$ es una copia a escala del triángulo $A$ con factor de escala $\frac{1}{2}$ .

¿Cuántas veces mayores son las longitudes de los lados del triángulo $B$ cuando se comparan con las del triángulo $A$ ?
Imagina que redimensionas el triángulo $B$ según un factor de escala de $\frac{1}{2}$ para obtener el triángulo $C$ . ¿Cuántas veces mayores serán las longitudes de los lados del triángulo $C$ cuando se comparen con las del triángulo $A$ ?
El triángulo $B$ se ha redimensionado una vez. El triángulo $C$ se ha redimensionado dos veces. Imagina que redimensionas el triángulo $A$ $n$ veces y obtienes el triángulo $N$ , siempre usando un factor de escala de $\frac{1}{2}$ . ¿Cuántas veces mayores serán las longitudes de los lados del triángulo $N$ cuando se comparen con las del triángulo $A$ ?

Actividad 3: Cambiemos la escala de un rompecabezas

Tu profesor te dará 2 piezas de un rompecabezas de 6 piezas.

Si dibujaras copias a escala de las piezas del rompecabezas usando un factor de escala de $\frac{1}{2}$ , ¿serían más grandes o más pequeñas que las piezas originales? ¿Cómo lo sabes?
Crea una copia a escala de cada pieza del rompecabezas sobre un cuadrado en blanco, con un factor de escala de $\frac{1}{2}$ .
Cuando todos en tu grupo hayan acabado, organicen las 6 piezas del rompecabezas original de a siguiente manera:
Después pongan las 6 copias a escala juntas. Comparen el rompecabezas a escala con el rompecabezas original. ¿Qué partes parecen estar redimensionadas correctamente y cuáles parecen estar mal? ¿Qué puede haber hecho que esas partes estén mal?
Revisen cualquier copia a escala que se pueda haber dibujado de forma incorrecta.
Si perdieran una de las piezas del rompecabezas original, pero aún tuviesen la copia a escala, ¿cómo podrían crear de nuevo la pieza perdida?

Resumen de la lección

Cuando una figura es una copia a escala de otra figura, sabemos que:

Todas las distancias en la copia se pueden encontrar multiplicando las distancias correspondientes de la figura original por el mismo factor de escala, sin importar si los extremos están unidos por un segmento o no.
Por ejemplo, el polígono $S T U V W X$ es una copia a escala del polígono $A B C D E F$ . El factor de escala es 3. La distancia de $T$ a $X$ es 6, que es tres veces la distancia de $B$ a $F$ .

Todos los ángulos de la copia tienen la misma medida que los ángulos correspondientes de la figura original, como en estos triángulos.

Estas observaciones pueden ayudar a explicar por qué una figura no es una copia a escala de la otra.

Por ejemplo, aunque sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, el segundo rectángulo no es una copia a escala del primer rectángulo porque hay parejas de longitudes correspondientes que tienen factores de escala diferentes, $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ pero $3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ .

Cuando una figura es una copia a escala de otra, el tamaño del factor de escala afecta el tamaño de la copia. Cuando una figura se redimensiona por un factor de escala mayor que 1, la copia es más grande que la original. Cuando el factor de escala es menor que 1, la copia es más pequeña. Cuando el factor de escala es exactamente 1, la copia tiene el mismo tamaño que la original.

El triángulo $D E F$ es una copia a escala más grande que el triángulo $A B C$ , porque el factor de escala de $A B C$ a $D E F$ es $\frac{3}{2}$ . El triángulo $A B C$ es una copia a escala más pequeña que el triángulo $D E F$ , porque el factor de escala de $D E F$ a $A B C$ es $\frac{2}{3}$ .

Esto significa que los triángulos $A B C$ y $D E F$ son copias a escala uno del otro. Esto también muestra que el redimensionamiento se puede revertir usando factores de escala recíprocos, como $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{2}$ .

En otras palabras, si redimensionamos la figura $A$ usando un factor de escala de 4 para crear la figura $B$ , podemos redimensionar la figura $B$ usando el factor de escala recíproco, $\frac{1}{4}$ , para crear la figura $A$ .