Lección 9Dilataciones

Objetivo de aprendizaje

Dilatemos figuras.

Metas de aprendizaje

  • Puedo aplicar dilataciones a figuras sobre una cuadrícula circular cuando el centro de dilatación es el centro de la cuadrícula.

  • Puedo aplicar una dilatación a un polígono usando una regla.

Términos de la lección

  • dilatación

Calentamiento: Observa y pregúntate: círculos concéntricos

Problema 1

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Cuadrilátero sobre una cuadrícula circular

Problema 1

Este es un polígono .

    • Dilata cada vértice del polígono usando como centro de dilatación y un factor de escala 2.

    • Dibuja segmentos entre los puntos dilatados para crear un nuevo polígono.

  2. ¿Qué cosas observas sobre el nuevo polígono?

  3. Elige algunos puntos más en los lados del polígono original y transfórmalos usando la misma dilatación. ¿Qué observas?

  4. Dilata cada vértice del polígono usando como centro de dilatación y un factor de escala .

  5. ¿Qué observas sobre este nuevo polígono?

versión impresa

Este es un polígono .

  1. Dilata cada vértice del polígono usando como centro de dilatación y un factor de escala 2. Etiqueta la imagen de con y etiqueta las imágenes de los tres vértices restantes con , y .

    • Dibuja segmentos entre los puntos dilatados para crear el polígono .

  2. ¿Qué cosas observas sobre el nuevo polígono?

  3. Elige algunos puntos más en los lados del polígono original y transfórmalos usando la misma dilatación. ¿Qué observas?

  4. Dilata cada vértice del polígono usando como centro de dilatación y un factor de escala . Etiqueta la imagen de con , la imagen de con , la imagen de con y la imagen de con .

  5. ¿Qué observas sobre el polígono ?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Supongamos que es un punto que no está sobre el segmento de recta . Llamemos a la dilatación del segmento de recta que usa como centro y tiene factor de escala 2. Experimenta con una cuadrícula circular para hacer predicciones acerca de si cada uno de los siguientes enunciados tiene que ser verdadero, puede ser verdadero o tiene que ser falso.

  1. es el doble de largo que .

  2. mide cinco unidades más que .

  3. El punto está sobre .

  4. y se intersecan.

Actividad 2: Poner en perspectiva

Problema 1

  1. Dilata usando como centro y un factor de escala 4. Sigue las instrucciones para realizar las dilataciones en el applet.

    1. Elige la herramienta “Dilatar desde un punto”.

    2. Haz clic sobre el objeto que vas a dilatar y luego haz clic sobre el centro de dilatación. 

    3. Cuando se abra la ventana de diálogo, escribe el factor de escala. Las fracciones se pueden escribir con texto simple; p. ej., 1/2.

    4. Haz clic en

       

    5. Para verificar, usa la herramienta “Rayo” y la herramienta “Distancia”.

    Dilata usando como centro y un factor de escala .

  2. Dibuja un polígono simple.

    1. Elige un punto dentro de la región circular sombreada, pero por fuera del rectángulo para usarlo como centro de dilatación. Etiquétalo con .

    2. Usando tu centro y el factor de escala que te dieron, dibuja la imagen al realizar la dilatación de cada vértice del rectángulo, uno a la vez. Une los vértices dilatados para crear el rectángulo dilatado.

    3. Dibuja un segmento que una cada uno de los vértices originales con su imagen. ¡Esto hará que tu diagrama se vea como un dibujo genial de una caja tridimensional! Si queda tiempo, puedes sombrear los lados de la caja para que se vea más realista.

  3. Compara tu dibujo con el de otras personas. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo afectan las decisiones que tomaste al dibujo final? ¿Tu rectángulo dilatado quedó más cerca o más lejos de que el rectángulo original?, ¿de qué depende eso?

versión impresa

  1. Usa un lápiz de color para dibujar las imágenes de los puntos y , usando como centro de dilatación y un factor de escala 4. Etiqueta los nuevos puntos con y .

    Usa un color diferente para dibujar las imágenes de los puntos y , usando como centro de dilatación y un factor de escala . Etiqueta los nuevos puntos con y

    Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu diagrama. Luego, tu profesor te dará un factor de escala para que lo uses en la siguiente parte.

  2. Ahora, vas a hacer un dibujo con perspectiva. Este es un rectángulo.

    • Elige un punto dentro de la región circular sombreada, pero por fuera del rectángulo para usarlo como centro de dilatación. Etiquétalo con .

    • Usando tu centro y el factor de escala que te dieron, dibuja la imagen al realizar la dilatación de cada vértice del rectángulo, uno a la vez. Une los vértices dilatados para crear el rectángulo dilatado.

    • Dibuja un segmento que una cada uno de los vértices originales con su imagen. ¡Esto hará que tu diagrama se vea como un dibujo genial de una caja tridimensional! Si queda tiempo, puedes sombrear los lados de la caja para que se vea más realista.

  3. Compara tu dibujo con el de otras personas. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo afectan las decisiones que tomaste al dibujo final? ¿Tu rectángulo dilatado quedó más cerca o más lejos de que el rectángulo original?, ¿de qué depende eso?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Este es el segmento de recta y su imagen al realizar una dilatación.

  1. Usa una regla para encontrar y dibujar el centro de dilatación. Etiquétalo con .

  2. ¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?

Resumen de la lección

Las dilataciones también funcionan sin una cuadrícula. Piensa en esta dilatación:

Si es el centro de dilatación, ¿cómo podemos encontrar qué punto es la dilatación de con factor de escala 2? Como el factor de escala es mayor que 1, el punto debe estar más lejos de que , así que es el punto que estamos buscando. Si medimos la distancia entre y , nos daríamos cuenta de que es exactamente el doble de la distancia entre y .

Una dilatación con factor de escala menor que 1 acerca los puntos. El punto es la dilatación de con centro y factor de escala .