Lección 10Dilataciones sobre una cuadrícula cuadrada

Objetivo de aprendizaje

Dilatemos figuras sobre una cuadrícula cuadrada.

Metas de aprendizaje

  • Puedo aplicar dilataciones a figuras en una cuadrícula cuadrada.

  • Puedo aplicar dilataciones a polígonos en una cuadrícula rectangular si conozco las coordenadas de los vértices y el centro de dilatación.

  • Si conozco las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de un polígono, también conozco las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados del nuevo polígono que resulta al aplicar una dilatación con un factor de escala dado.

Términos de la lección

  • centro de una dilatación

Calentamiento: Dilataciones sobre una cuadrícula

Problema 1

  • Encuentra la dilatación del triángulo con centro y factor de escala 2.

  • Encuentra la dilatación del triángulo con centro y factor de escala .

Actividad 1: Clasificación de tarjetas: emparejemos dilataciones sobre una cuadrícula de coordenadas

Problema 1

El profesor les dará algunas tarjetas. Cada tarjeta de la 1 a la 6 muestra una figura en el plano de coordenadas y describe una dilatación.

Cada tarjeta de la A a la F describe la imagen de la dilatación de una de las tarjetas marcadas con un número.

Empareja las tarjetas marcadas con un número con las tarjetas marcadas con una letra. Una de las tarjetas marcadas con un número no tiene pareja. Para esta tarjeta, tendrás que dibujar una imagen.

¿Estás listo para más?

Problema 1

La imagen de un círculo al realizar una dilatación es un círculo cuando el centro de dilatación es el centro del círculo. ¿Qué pasa si el centro de dilatación es un punto del círculo? Usando como centro de dilatación y factor de escala 1.5, dilata el círculo que se muestra en el diagrama. Este diagrama muestra algunos puntos para intentar dilatar.

Actividad 2: Falta de información: dilataciones

Problema 1

Tu profesor te dará o una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.

  2. Pide a tu compañero la información específica que necesitas.

  3. Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.

    Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.

  4. Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.

  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee en silencio tu tarjeta.

  2. Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.

    Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.

  3. Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.

  4. Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.

  5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas, intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

¿Estás listo para más?

Problema 1

El triángulo se creó al dilatar el triángulo usando 2 como factor de escala y centro . El triángulo se creó al dilatar el triángulo usando como factor de escala y centro .

  1. ¿Cómo se vería la imagen del triángulo al realizar una dilatación con 0 como factor de escala?

  2. ¿Cómo se vería la imagen del triángulo al realizar una dilatación con -1 como factor de escala? De ser posible, dibújala y etiqueta los vértices con , y . Si no es posible, explica por qué.

  3. De ser posible, describe qué le pasa a una figura si se dilata con un factor de escala negativo. Si no es posible dilatar con un factor de escala negativo, explica por qué.

Resumen de la lección

Las cuadrículas cuadradas pueden ser útiles para mostrar dilataciones. La cuadrícula es útil especialmente cuando el centro de dilatación y los puntos que se están dilatando están sobre puntos de la cuadrícula. En vez de usar una regla para medir la distancia entre los puntos, podemos contar unidades de la cuadrícula.

Por ejemplo, supongamos que queremos dilatar el punto con centro de dilatación y factor de escala . Usando cuadrados de la cuadrícula, como está 4 cuadrados a la izquierda y 2 cuadrados abajo de , la dilatación estará 6 cuadrados a la izquierda y 3 cuadrados abajo de (¿puedes ver por qué?). La imagen dilatada está marcada como en el diagrama.

A veces la cuadrícula cuadrada viene sin coordenadas. La cuadrícula de coordenadas nos da una manera conveniente de nombrar puntos y a veces las coordenadas de la imagen se pueden encontrar simplemente con aritmética.

Por ejemplo, para hacer una dilatación con centro y factor de escala 2 del triángulo con coordenadas , y , podemos simplemente duplicar las coordenadas y obtenemos , y .

En general, un uso importante de las coordenadas es el de comunicar información geométrica de manera precisa. Pensemos en un cuadrilátero en el plano de coordenadas. Para realizar una dilatación de necesitamos tres datos vitales:

  1. Las coordenadas de , , y .

  2. Las coordenadas del centro de dilatación, .

  3. El factor de escala de la dilatación.

Con esta información, podemos dilatar los vértices , , y , y luego dibujar los segmentos correspondientes para encontrar la dilatación de . Sin coordenadas, para describir la ubicación de los nuevos puntos probablemente se necesitaría un dibujo del polígono y el centro de dilatación.