Lección 12El significado de los exponentes

Objetivo de aprendizaje

Veamos cómo los exponentes muestran la multiplicación repetida.

Metas de aprendizaje

Entiendo el significado de una expresión que tiene un exponente, como $3^5$.
Puedo evaluar expresiones que tienen exponentes y escribir expresiones que tienen exponentes y que son iguales a un número dado.

Calentamiento: Observa y pregúntate: puntos y líneas

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: La oferta del genio

Encuentras una botella metálica que parece ser muy antigua. Cuando la frotas un poco para desempolvarla, ¡aparece un genio! El genio te ofrece una recompensa. Debes escoger una opción:

Tomar $50,000 o tomar una moneda mágica de $1.
La moneda se convertirá en dos monedas el primer día. Las dos monedas se convertirán en cuatro monedas el segundo día. Las cuatro monedas se duplicarán y se convertirán en 8 monedas el tercer día. El genio te explica que la duplicación continuará por 28 días.

El número de monedas en el tercer día será $2 \cdot 2 \cdot 2$ . Escribe una expresión equivalente utilizando exponentes.
¿Qué representan $2^{5}$ y $2^{6}$ en esta situación? Evalúa $2^{5}$ y $2^{6}$ sin calculadora.
¿Cuántos días se necesitan para que el número de monedas mágicas sea más que $50,000?
¿El valor de las monedas mágicas excederá un millón de dólares antes de que pasen los 28 días? Explica o muestra tu razonamiento.

versión impresa

Encuentras una botella metálica que parece ser muy antigua. Cuando la frotas un poco para desempolvarla, ¡aparece un genio! El genio te ofrece una recompensa. Debes escoger una opción:

Tomar $50,000 o tomar una moneda mágica de $1.
La moneda se convertirá en dos monedas el primer día. Las dos monedas se convertirán en cuatro monedas el segundo día. Las cuatro monedas se duplicarán y se convertirán en 8 monedas el tercer día. El genio te explica que la duplicación continuará por 28 días.

El número de monedas en el tercer día será $2 \cdot 2 \cdot 2$ . Escribe una expresión equivalente utilizando exponentes.
¿Qué representan $2^{5}$ y $2^{6}$ en esta situación? Evalúa $2^{5}$ y $2^{6}$ sin calculadora. Haz una pausa para discutir.
¿Cuántos días se necesitan para que el número de monedas mágicas sea más que $50,000?
¿El valor de las monedas mágicas excederá un millón de dólares antes de que pasen los 28 días? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una científica está cultivando una colonia de bacterias en una placa de Petri. Ella sabe que las bacterias están aumentando y que el número de bacterias se duplica cada hora.

Cuando se va del laboratorio a las 5 p.m., hay 100 bacterias en la placa. Cuando regresa a la mañana siguiente a las 9 a.m., la placa está completamente llena de bacterias. ¿A qué hora estaba la placa medio llena?

Actividad 2: Hacer 81

Problema 1

Estas son algunas expresiones. Todas excepto una son iguales a 16. Halla la única que no es igual a 16 y explica cómo lo sabes.

$2^{3} \cdot 2$

$4^{2}$

$\frac{2^{5}}{2}$

$8^{2}$

Problema 2

Escribe tres expresiones que contengan exponentes de tal forma que cada expresión sea igual a 81.

Resumen de la lección

Cuando escribimos una expresión como $2^{n}$ , llamamos a $n$ el exponente.

Si $n$ es un número entero positivo, nos dice cuántos factores de 2 debemos multiplicar para hallar el valor de la expresión. Por ejemplo, $2^{1} = 2$ y $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Hay diferentes formas de decir $2^{5}$ . Podemos decir “dos elevado a la potencia de cinco” o “dos elevado a la quinta potencia” o solo “dos a la cinco”.