Lección 17Dos cantidades relacionadas (Parte 2)

Objetivo de aprendizaje

Usemos ecuaciones y gráficas para describir historias que involucran rapidez constante.

Metas de aprendizaje

Puedo elaborar tablas y gráficas para representar la relación que hay entre la distancia y el tiempo para algo que se desplaza a una rapidez constante.
Puedo escribir una ecuación con variables para representar la relación que hay entre la distancia y el tiempo para algo que se desplaza a una rapidez constante.

Términos de la lección

plano de coordenadas
variable independiente

Calentamiento: De camino a la biblioteca

Lin y Jada caminan cada una a una tasa constante desde la escuela hasta la biblioteca. Lin puede caminar 13 millas en 5 horas y Jada puede caminar 25 millas en 10 horas. Ambas salen de la escuela a las 3:00 y caminan $3 \frac{1}{4}$ millas hasta la biblioteca. ¿A qué hora llega cada una?

Actividad 1: La caminata

Diego, Elena y Andre participaron en una caminata para recoger fondos para la investigación sobre el cáncer. Cada uno caminó a una tasa constante, pero sus tasas fueron diferentes.

Problema 1

Completa la tabla para mostrar cuánto recorrió cada participante durante la caminata.

tiempo en horas	millas que caminó Diego	millas que caminó Elena	millas que caminó Andre
$1$
$2$	$6$
	$12$	$11$
$5$			$17.5$

Problema 2

¿Qué tan rápido caminaba cada participante en millas por hora?

Problema 3

¿Cuánto se demoró cada participante en caminar una milla?

Problema 4

Grafica el progreso de cada persona en el plano de coordenadas. Utiliza un color diferente para cada participante.

versión impresa

Grafica el progreso de cada persona en el plano de coordenadas. Utiliza un color diferente para cada participante.

Problema 5

Diego dice que $d = 3 t$ representa su caminata, donde $d$ es la distancia caminada en millas y $t$ es el tiempo en horas.

Explica por qué $d = 3 t$ relaciona la distancia que Diego caminó con el tiempo que se demoró.
Escribe dos ecuaciones que relacionen la distancia y el tiempo: una para Elena y otra para Andre.

Problema 6

Usa las ecuaciones que escribiste para predecir la distancia que recorrerá cada participante, a su misma tasa, en 8 horas.

Problema 7

Para la ecuación de Diego y las ecuaciones que escribiste, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Dos trenes viajan el uno hacia el otro, en vías paralelas. El tren A se está moviendo a una rapidez constante de 70 millas por hora. El tren B se está moviendo a una rapidez constante de 50 millas por hora. Los trenes están inicialmente a 320 millas el uno del otro. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?

Una forma de empezar a pensar sobre este problema es hacer una tabla. Agrega todas las filas que quieras.

	Tren A	Tren B
Posición de salida	0 millas	320 millas
Después de 1 hora	70 millas	270 millas
Después de 2 horas

Problema 2

¿Cuánto tardará un tren que viaja a 120 millas por hora en recorrer 320 millas?

Problema 3

Explica la conexión que hay entre estos dos problemas.

Resumen de la lección

Las ecuaciones son muy útiles para resolver problemas que tienen rapideces constantes. Este es un ejemplo.

Un barco viaja con una rapidez constante de 25 millas por hora.

¿Cuánto recorre el barco en 3.25 horas?
¿Cuánto tarda el barco en recorrer 60 millas?

Podemos escribir ecuaciones que nos ayuden a responder preguntas como estas.

Utilicemos $t$ para representar el tiempo en horas y $d$ para representar la distancia que recorre el barco en millas.

Cuando conocemos el tiempo y queremos hallar la distancia, podemos escribir: $d = 25 t$ En esta ecuación, si $t$ cambia, $d$ se ve afectada por el cambio, por eso $t$ es la variable independiente y $d$ es la variable dependiente.

Esta ecuación nos puede ayudar a hallar $d$ cuando tenemos cualquier valor de $t$ . En $3.25$ horas, el barco puede recorrer $25 (3.25)$ u $81.25$ millas.

Cuando conocemos la distancia y queremos hallar el tiempo, podemos escribir: $t = \frac{d}{25}$ En esta ecuación, si $d$ cambia, $t$ se ve afectada por el cambio, por eso $d$ es la variable independiente y $t$ es la variable dependiente.

Esta ecuación nos puede ayudar a hallar $t$ para cualquier valor de $d$ . Para recorrer 60 millas, se necesitan $\frac{60}{25}$ o $2 \frac{2}{5}$ horas.

Estos problemas también se pueden resolver usando otras técnicas, como una tabla de razones equivalentes. Las ecuaciones son particularmente valiosas en este caso porque las respuestas no son números redondeados ni fáciles de evaluar rápidamente.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una representación visual de la relación entre las dos cantidades: