Lección 2Introducción a las relaciones proporcionales usando tablas

Objetivo de aprendizaje

Resolvamos problemas que involucran relaciones proporcionales usando tablas.

Metas de aprendizaje

Entiendo los términos “relación proporcional” y “constante de proporcionalidad”.
Puedo utilizar una tabla para razonar sobre dos cantidades que están en una relación proporcional.

Términos de la lección

constante de proporcionalidad
razones equivalentes
relación proporcional

Calentamiento: Observa y pregúntate: toallas de papel por cajas

Esta es una tabla que muestra cuántos rollos de toallas de papel recibe un almacén al pedir diferentes números de cajas.

¿Qué observas acerca de la tabla? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Alimentemos a muchas personas

Problema 1

Una receta dice que 2 tazas de arroz seco alcanzarán para 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

tazas de arroz	número de personas
$2$	$6$
$3$	$9$
$10$
	$45$

¿Cuántas personas pueden comer con 10 tazas de arroz?
¿Cuántas tazas de arroz se necesitan para que coman 45 personas?

Problema 2

Una receta dice que 6 spring rolls son suficientes para que coman 3 personas. Completa la tabla.

número de spring rolls	número de personas
$6$	$3$
$30$
$40$
	$28$

Actividad 2: Hacer masa de pan

En una panadería se usan 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días se hacen tandas más grandes y otros días tandas más pequeñas, pero siempre se usa la misma razón de miel a harina. Completa la tabla mientras contestas las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

miel (cucharadas)	harina (tazas)
$8$	$10$
$20$
$13$
	$20$

¿Cuántas tazas de harina se usan con 20 cucharadas de miel?
¿Cuántas tazas de harina se usan con 13 cucharadas de miel?
¿Cuántas cucharadas de miel se usan con 20 tazas de harina?
¿Cuál es la relación proporcional que esta tabla representa?

Actividad 3: Monedas de veinticinco y de diez centavos

4 monedas de veinticinco centavos tienen el mismo valor que 10 monedas de diez centavos.

número de monedas de veinticinco centavos	número de monedas de diez centavos
$1$
$4$	$10$
$6$
$14$

¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 6 monedas de veinticinco centavos?
¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 14 monedas de veinticinco centavos?
¿Qué valor va al lado del 1 en la tabla? ¿Qué significa ese valor en este contexto?

¿Estás listo para más?

Los centavos hechos antes de 1982 son 95% cobre y pesan alrededor de 3.11 gramos cada uno (los centavos hechos después de esa fecha son hechos principalmente de zinc). Algunas personas afirman que el valor del cobre de una de esas monedas es mayor que el valor nominal de la moneda. Averigua cuánto vale el cobre actualmente y decide si esta afirmación es cierta.

Resumen de la lección

Si las razones entre dos cantidades correspondientes siempre son equivalentes, la relación entre esas cantidades se llama una relación proporcional.

Esta tabla muestra diferentes cantidades de leche y jarabe de chocolate. Los ingredientes de cada fila, al mezclarse, darían una cantidad total diferente de leche achocolatada, pero todas estas mezclas tendrían el mismo sabor.

Observa que cada fila de la tabla muestra una razón de cucharadas de jarabe de chocolate a tazas de leche que es equivalente a $4 : 1$ .

Podemos decir lo siguiente acerca de la relación entre estas dos cantidades:

cucharadas de jarabe de chocolate	tazas de leche
$4$	$1$
$6$	$1 \frac{1}{2}$
$8$	$2$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$
$12$	$3$
$1$	$\frac{1}{4}$

La relación entre cantidad de jarabe de chocolate y cantidad de leche es proporcional.
La relación entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche es una relación proporcional.
La tabla representa una relación proporcional entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche.
La cantidad de leche es proporcional a la cantidad de jarabe de chocolate.

Podríamos multiplicar cualquier valor de la columna de jarabe de chocolate por $\frac{1}{4}$ para obtener el valor de la columna de leche. A $\frac{1}{4}$ podríamos llamarla una tasa unitaria, porque para 1 cucharada de jarabe de chocolate se necesita $\frac{1}{4}$ de taza de leche. También decimos que $\frac{1}{4}$ es la constante de proporcionalidad de esta relación. Esta nos dice cuántas tazas de leche deberíamos mezclar con 1 cucharada de jarabe de chocolate.