Lección 3Más sobre la constante de proporcionalidad

Objetivo de aprendizaje

Usemos tablas para resolver más problemas que involucren relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje

Puedo encontrar la constante de proporcionalidad a partir de información dada en una tabla.
Puedo usar una tabla para encontrar información que falta en una relación proporcional.

Términos de la lección

constante de proporcionalidad
razón
razones equivalentes
relación proporcional

Calentamiento: Medidas iguales

Usa los números y las unidades de la lista para encontrar tantas medidas equivalentes como puedas. Por ejemplo, podrías escribir: “30 minutos es $\frac{1}{2}$ hora”.

Puedes usar los números y las unidades más de una vez.

0.4

$\frac{1}{2}$

0.01

$3 \frac{1}{3}$

0.3

$\frac{1}{10}$

$\frac{2}{5}$

centímetro

metro

hora

pie

minuto

pulgada

Actividad 1: Centímetros y milímetros

Existe una relación proporcional entre cualquier longitud medida en centímetros y la misma longitud medida en milímetros.

Hay dos maneras de pensar en esta relación proporcional.

Problema 1

Si se conoce la longitud de algo en centímetros, se puede calcular su longitud en milímetros.

Completa la tabla.
longitud (cm)
longitud (mm)
$9$
$12.5$
$50$
$88.49$
¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

longitud (cm)	longitud (mm)
$9$
$12.5$
$50$
$88.49$

Problema 2

Si se conoce la longitud de algo en milímetros, se puede calcular su longitud en centímetros.

Completa la tabla.
longitud (mm)
longitud (cm)
$70$
$245$
$4$
$699.1$
¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

longitud (mm)	longitud (cm)
$70$
$245$
$4$
$699.1$

Problema 3

¿Cómo se relacionan estas dos constantes de proporcionalidad entre sí?

Problema 4

Para convertir de centímetros a milímetros, se puede multiplicar por .
Para convertir de milímetros a centímetros, se puede dividir entre o multiplicar por .

¿Estás listo para más?

Problema 1

¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?

Problema 2

¿Cómo se convierten centímetros cuadrados a milímetros cuadrados? ¿Cómo se hace la conversión en el sentido contrario?

Actividad 2: De Pittsburgh a Phoenix

Un avión, viajando a una rapidez constante, voló sobre Pittsburgh, San Luis, Albuquerque y Phoenix en su camino de Nueva York a San Diego.

Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

segmento	tiempo	distancia
Pittsburgh a San Luis	$1 hora$	$550 millas$
San Luis a Albuquerque	$1 hora 42 minutos$
Albuquerque a Phoenix		$330 millas$

¿Cuál es la distancia entre San Luis y Albuquerque?
¿Cuántos minutos tomó volar entre Albuquerque y Phoenix?
¿Cuál es la relación proporcional representada con esta tabla?
Diego dice que la constante de proporcionalidad es 550. Andre dice que la constante de proporcionalidad es $9 \frac{1}{6}$ . ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección

Cuando algo está viajando a una rapidez constante, existe una relación proporcional entre el tiempo que tarda y la distancia que recorre. La tabla muestra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para un insecto que trepa por una acera.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por $\frac{2}{3}$ para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que el tiempo transcurrido es proporcional a la distancia recorrida y que la constante de proporcionalidad es $\frac{2}{3}$ . Esto significa que el ritmo del insecto es $\frac{2}{3}$ segundos por centímetro.

Esta tabla representa la misma situación, excepto que se intercambiaron las columnas.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por $\frac{3}{2}$ para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que la distancia recorrida es proporcional al tiempo transcurrido y que la constante de proporcionalidad es $\frac{3}{2}$ . Esto significa que la rapidez del insecto es $\frac{3}{2}$ centímetros por segundo.

Observa que $\frac{3}{2}$ es el recíproco de $\frac{2}{3}$ . Cuando dos cantidades están en una relación proporcional, hay dos constantes de proporcionalidad y estas siempre son recíprocas entre ellas. Cuando representamos una relación proporcional con una tabla, decimos que la cantidad en la segunda columna es proporcional a la cantidad en la primera columna y que la constante de proporcionalidad correspondiente es el número por el que multiplicamos los valores en la primera columna para obtener los valores en la segunda.