Lección 5Dos ecuaciones para cada relación

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos las ecuaciones que representan relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje

Puedo encontrar dos constantes de proporcionalidad para una relación proporcional.
Puedo escribir dos ecuaciones que representen una relación proporcional descrita por una tabla o una historia.

Términos de la lección

constante de proporcionalidad
relación proporcional

Calentamiento: Figuras que faltan

Estas son la segunda y la cuarta figura de un patrón.

¿Cómo crees que se ven la primera y la tercera figura del patrón?
Describe la décima figura del patrón.

Actividad 1: Metros y centímetros

Hay 100 centímetros (cm) en cada metro (m).

Completa cada tabla.
Tablas:
longitud (m)
longitud (cm)
$1$
$100$
$0.94$
$1.67$
$57.24$
$x$
longitud (cm)
longitud (m)
$100$
$1$
$250$
$78.2$
$123.9$
$y$
Encuentra la constante de proporcionalidad de cada tabla.
¿Cuál es la relación entre estas constantes de proporcionalidad?
Escribe una ecuación para la relación proporcional de cada tabla en la que $x$ represente una longitud medida en metros y $y$ la misma longitud medida en centímetros.

longitud (m)	longitud (cm)
$1$	$100$
$0.94$
$1.67$
$57.24$
$x$

longitud (cm)	longitud (m)
$100$	$1$
$250$
$78.2$
$123.9$
$y$

¿Estás listo para más?

Problema 1

¿Cuántos centímetros cúbicos hay en un metro cúbico?

Problema 2

¿Cómo se convierte de centímetros cúbicos a metros cúbicos?

Problema 3

¿Cómo se convierte en el otro sentido?

Actividad 2: Llenemos un dispensador de agua

Priya tardó 5 minutos en llenar un dispensador con 8 galones de agua que fluía de un grifo a una tasa constante. Llamemos $w$ al número de galones de agua que hay en el dispensador luego de $t$ minutos.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la relación entre $w$ y $t$ ? Selecciona todas las que correspondan.
1. $w = 1.6 t$
2. $w = 0.625 t$
3. $t = 1.6 w$
4. $t = 0.625 w$
¿Qué nos dice el 1.6 sobre la situación?
¿Qué nos dice el 0.625 sobre la situación?
Priya cambió la tasa a la que fluía el agua por el grifo. Escribe una ecuación que represente la relación entre $w$ y $t$ , si llenar el dispensador con 1 galón de agua tarda 3 minutos.
¿El dispensador se estaba llenando más rápido antes o después de que Priya cambió la tasa a la que fluía el agua? Explica cómo lo sabes.

Actividad 3: Alimentación de camarones

En un acuario se alimenta a un camarón con $\frac{1}{5}$ gramo de comida. Cada día se le alimenta 3 veces.

¿Cuánta comida recibe un camarón en un día?
Completa la tabla para mostrar cuántos gramos de comida recibe el camarón en distintos números de días.
número de días
comida en gramos
$1$
$7$
$30$
¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué nos dice sobre la situación?
Si intercambiáramos las columnas de la tabla, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad? Explica tu razonamiento.
Llamemos $d$ al número de días y $f$ a la cantidad de comida en gramos que come el camarón. Escribe dos ecuaciones que representen la relación entre $d$ y $f$ .
Si un tanque tiene 10 camarones, ¿cuánta comida se agrega al tanque cada día?
Si el encargado del acuario tiene 300 gramos de comida para camarones para este tanque con 10 camarones, ¿cuántos días durará la comida? Explica tu razonamiento.

número de días	comida en gramos
$1$
$7$
$30$

Resumen de la lección

Si Kiran montó en su bicicleta a una rapidez constante de 10 millas por hora, su distancia en millas, $d$ , es proporcional al número de horas, $t$ , que montó. Podemos escribir la ecuación $d = 10 t$ . Con esta ecuación, es fácil encontrar la distancia que Kiran recorrió si sabemos el tiempo que tardó, porque basta multiplicar el tiempo por 10.

Podemos reescribir la ecuación así:

$\begin{aligned} d & = 10 t \\ (\frac{1}{10}) d & = t \\ t & = (\frac{1}{10}) d \end{aligned}$ Esta versión de la ecuación nos dice que la cantidad de tiempo que él montó es proporcional a la distancia que recorrió y la constante de proporcionalidad es $\frac{1}{10}$ . Esa forma es más fácil de usar cuando conocemos su distancia y queremos encontrar cuánto tiempo tardó, porque podemos basta multiplicar la distancia por $\frac{1}{10}$ .

Cuando dos cantidades $x$ y $y$ están en una relación proporcional, podemos escribir la ecuación $y = k x$ y decir: “ $y$ es proporcional a $x$ ”. En este caso, el número $k$ es la constante de proporcionalidad correspondiente. También podemos escribir la ecuación $x = \frac{1}{k} y$ y decir: “ $x$ es proporcional a $y$ ”. En este caso, el número $\frac{1}{k}$ es la constante de proporcionalidad correspondiente. Cada una puede ser útil dependiendo de la información que tengamos y la cantidad que estemos buscando.