Lección 10Introducción a las gráficas de las relaciones proporcionales

Objetivo de aprendizaje

Veamos en qué se diferencian las gráficas de las relaciones proporcionales y las gráficas de otras relaciones.

Meta de aprendizaje

Sé que la gráfica de una relación proporcional está sobre una recta que pasa por $(0, 0)$ .

Términos de la lección

origen
plano de coordenadas

Calentamiento: Observa estos puntos

Grafica los puntos.
$(0, 10), (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)$
¿Qué observas acerca de la gráfica?

versión impresa

Grafica los puntos $(0, 10), (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)$ .
¿Qué observas acerca de la gráfica?

Actividad 1: Camisetas en venta

Unas camisetas cuestan $8 cada una.

$x$	$y$
$1$	$8$
$2$	$16$
$3$	$24$
$4$	$32$
$5$	$40$
$6$	$48$

Problema 1

Utiliza la tabla para responder estas preguntas.

¿Qué representa $x$ ?
¿Qué representa $y$ ?
¿Hay una relación proporcional entre $x$ y $y$ ?

Problema 2

En el plano de coordenadas, grafica las parejas de la tabla.

versión impresa

En el plano de coordenadas, grafica las parejas de la tabla.

Problema 3

¿Qué observas acerca de la gráfica?

Actividad 2: Emparejemos tablas y gráficas

El profesor les dará tarjetas que muestran tablas y gráficas.

Examinen las gráficas detenidamente. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas?
Clasifiquen las gráficas en categorías de su elección. Etiqueten cada categoría. Prepárense para explicar por qué organizaron las gráficas de la manera que lo hicieron.
Tomen turnos con su compañero para emparejar una tabla con una gráfica.
- Por cada pareja que encuentren, explíquenle a su compañero cómo saben que es una pareja.
- Por cada pareja que encuentre su compañero, escuchen con atención su explicación. Si no están de acuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo.
Hagan una pausa para que el profesor pueda revisar su trabajo.
Intercambien lugares con otro grupo. ¿En qué se parecen las categorías del otro grupo a las suyas? ¿En qué se diferencian?
Vuelvan a su lugar original. Discutan todos los cambios que deseen hacer a sus categorías con base en lo que hizo el otro grupo.
¿Cuáles de las relaciones son proporcionales?
¿Qué han observado sobre las gráficas de relaciones proporcionales? ¿Creen que esto será válido para todas las gráficas de relaciones proporcionales?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Todas las gráficas en esta actividad muestran puntos en los que ambas coordenadas son positivas. ¿Tendría sentido que alguna de ellas tenga una o más coordenadas que fueran negativas?

Problema 2

La ecuación de una relación proporcional es de la forma $y = k x$ , donde $k$ es un número positivo, y su gráfica es una recta que pasa por $(0, 0)$ . ¿Cómo se vería la gráfica si $k$ fuera un número negativo?

Resumen de la lección

Una forma de representar una relación proporcional es con una gráfica. Esta gráfica representa diferentes cantidades que corresponden a la situación “los arándanos cuestan $6 por cada libra”.

Diferentes puntos en la gráfica nos dicen, por ejemplo, que 2 libras de arándanos cuestan $12 y 4.5 libras de arándanos cuestan $27.

A veces tiene sentido unir los puntos con una recta y algunas veces no. Podríamos comprar, por ejemplo, 4.5 libras de arándanos o 1.875 libras de arándanos, así que todos los puntos en medio de los números enteros tienen sentido en la situación y, por lo tanto, cualquier punto sobre la recta es significativo.

Si la gráfica representara el costo de diferentes cantidades de sándwiches (en lugar de libras de arándanos), podría no tener sentido unir los puntos con una recta, porque normalmente no es posible comprar 4.5 sándwiches o 1.875 sándwiches. Sin embargo, incluso si solo algunos puntos tienen sentido en la situación, a veces unimos los puntos con una recta para que sea más fácil ver la relación

Todas las gráficas que representan relaciones proporcionales tienen ciertas cosas en común:

Los puntos que satisfacen la relación están sobre una línea recta.
La recta sobre la que están los puntos pasa por el origen, $(0, 0)$ .

Estas son algunas gráficas que no representan relaciones proporcionales:

Estos puntos no están sobre una recta.

Esta es una recta, pero no pasa por el origen.