Lección 9Multipliquemos números racionales

Objetivo de aprendizaje

Multipliquemos números con signo.

Metas de aprendizaje

Puedo explicar qué significa que el tiempo se represente con un número negativo en una situación sobre rapidez y dirección.
Puedo multiplicar dos números negativos.

Calentamiento: Antes y después

Indica dónde estaba la joven:

5 segundos después de tomarse esta foto. Marca su ubicación aproximada en la foto.
5 segundos antes de tomarse esta foto. Marca su ubicación aproximada en la foto.

Actividad 1: Devolverse en el tiempo

Una ingeniera de seguridad vial estaba estudiando patrones de desplazamiento en una autopista. Configuró una cámara y grabó la rapidez y dirección de los automóviles y camiones que pasaban frente a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas y al oeste son negativas.

Problema 1

Estas son algunas posiciones y tiempos para un automóvil:

posición (pies)	$- 180$	$- 120$	$- 60$	$0$	$60$	$120$
tiempo (segundos)	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

¿En cuál dirección está viajando este automóvil?
¿Cuál es su velocidad?

Problema 2

¿Qué significa cuando el tiempo es cero?
¿Qué puede significar tener un tiempo negativo?

Problema 3

Estas son las posiciones y tiempos para otro automóvil cuya velocidad es -50 pies por segundo:

Completa la tabla con el resto de las posiciones.
posición (pies)
$0$
$- 50$
$- 100$
tiempo (segundos)
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
¿En qué dirección está viajando este automóvil? Explica cómo lo sabes.

posición (pies)				$0$	$- 50$	$- 100$
tiempo (segundos)	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Problema 4

Completa la tabla para varios automóviles que pasan por la cámara.

	velocidad (metros por segundo)	tiempo después de pasar por la cámara (segundos)	posición final (metros)	ecuación
automóvil C	$+ 25$	$+ 10$	$+ 250$	$25 \cdot 10 = 250$
automóvil D	$- 20$	$+ 30$
automóvil E	$+ 32$	$- 40$
automóvil F	$- 35$	$- 20$
automóvil G	$- 15$	$- 8$

Problema 5

Si un automóvil está viajando al este, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

Problema 6

Si un automóvil está viajando al oeste, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

Actividad 2: A velocidad de crucero

Alrededor del mediodía, un automóvil estaba viajando por una carretera a -32 metros por segundo. Exactamente al mediodía (cuando el tiempo era 0), la posición del automóvil era 0 metros.

Completa la tabla.
tiempo (s)
$- 10$
$- 7$
$- 4$
$- 1$
$2$
$5$
$8$
$11$
posición (m)
Grafica la relación entre el tiempo y la posición del automóvil.
¿Cuál era la posición del automóvil a los -3 segundos?
¿Cuál era la posición del automóvil a los 6.5 segundos?

tiempo (s)	$- 10$	$- 7$	$- 4$	$- 1$	$2$	$5$	$8$	$11$
posición (m)

versión impresa

Alrededor del mediodía, un automóvil estaba viajando por una carretera a -32 metros por segundo. Exactamente al mediodía (cuando el tiempo era 0), la posición del automóvil era 0 metros.

Completa la tabla.
tiempo (s)
$- 10$
$- 7$
$- 4$
$- 1$
$2$
$5$
$8$
$11$
posición (m)
Grafica la relación entre el tiempo y la posición del automóvil.
¿Cuál era la posición del automóvil a los -3 segundos?
¿Cuál era la posición del automóvil a los 6.5 segundos?

tiempo (s)	$- 10$	$- 7$	$- 4$	$- 1$	$2$	$5$	$8$	$11$
posición (m)

¿Estás listo para más?

Halla el valor de estas expresiones sin usar una calculadora.

${(- 1)}^{2}$
${(- 1)}^{3}$
${(- 1)}^{4}$
${(- 1)}^{99}$

Actividad 3: Cuadrícula de multiplicación de números racionales

Observa los patrones a lo largo de las filas y columnas, y continúa esos patrones para completar la tabla. Cuando hayas llenado todas las casillas que puedas ver, haz clic sobre el botón “Más casillas”.
Observa los patrones a lo largo de las filas y columnas. Continúa esos patrones dentro de las casillas sin sombrear.
Completa toda la tabla.
¿Qué te dice esto sobre la multiplicación por un número negativo?

versión impresa

Completa las casillas sombreadas en el cuadro de multiplicación de abajo.
Observa los patrones a lo largo de las filas y columnas. Continúa esos patrones dentro de las casillas sin sombrear.
Completa toda la tabla.
¿Qué te dice esto sobre la multiplicación con números negativos?

Resumen de la lección

Podemos usar números con signo para representar tiempos con respecto a un punto escogido en el tiempo. Podemos pensar en esto como cuando activamos un cronómetro: los tiempos positivos están después del tiempo inicial (cuando activamos el cronómetro) y los tiempos negativos son tiempos antes de activar el cronómetro.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición positiva. Un positivo multiplicado por un positivo es positivo.

Si un automóvil está en posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición negativa. Un negativo multiplicado por un positivo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición negativa. Un positivo multiplicado por un negativo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición positiva. Un negativo multiplicado por un negativo es positivo.

Esta es otra manera de verlo:

Podemos pensar en $3 \cdot 5$ como $5 + 5 + 5$ , que tiene un valor de $15$ .

Podemos pensar en $3 \cdot (- 5)$ como $(- 5) + (- 5) + (- 5)$ , lo que tiene un valor de $- 15$ .

Se pueden multiplicar números en cualquier orden: $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$

Si podemos multiplicar números con signo en cualquier orden, entonces $- 5 \cdot 3 = - 15$ .

Podemos calcular $- 5 \cdot (3 + (- 3))$ de dos maneras:

$- 5 \cdot 0 = 0$
$- 5 \cdot 3 + (- 5) \cdot (- 3)$ (esta es la propiedad distributiva)

Esto quiere decir que $- 5 \cdot 3 + (- 5) \cdot (- 3) = 0$ , que es lo mismo que $- 15 + (- 5) \cdot (- 3) = 0$ Así que $- 5 \cdot (- 3) = 15$ .

Estos números específicos no tenían nada de especial. ¡Esto siempre funciona!

Un positivo multiplicado por un positivo siempre es positivo.
Un negativo multiplicado por un positivo o un positivo multiplicado por un negativo siempre es negativo.
Un negativo multiplicado por un negativo siempre es positivo.