Lección 3Movidas balanceadas

Objetivo de aprendizaje

Reescribamos ecuaciones mientras mantenemos las mismas soluciones.

Meta de aprendizaje

Puedo sumar, restar, dividir o multiplicar cada lado de una ecuación por la misma expresión para obtener una nueva ecuación con la misma solución.

Calentamiento: Asociemos colgadores con ecuaciones

Las figuras A, B, C y D muestran el resultado de simplificar el colgador de la figura A, al quitar pesos iguales de cada lado.

Estas son algunas ecuaciones. Cada ecuación representa uno de los diagramas de colgador.

$2 (x + 3 y) = 4 x + 2 y$ $2 y = x$ $2 (x + 3 y) + 2 z = 2 z + 4 x + 2 y$ $x + 3 y = 2 x + y$

Escribe la ecuación que corresponde a cada diagrama:
A:
B:
C:
D:
Cada variable ( $x$ , $y$ , y $z$ ) representa el peso de una figura. ¿Cuál le corresponde a cuál?
Explica qué se hizo en cada ecuación para generar la siguiente. Si tienes dificultades, piensa en cómo cambiaron los colgadores.

Actividad 1: Asociemos movidas con ecuaciones

Su profesor les entregará algunas tarjetas. Cada una de las tarjetas numeradas del 1 al 6 muestra dos ecuaciones. Cada una de las tarjetas marcadas con las letras de la A a la E describe una movida que convierte una ecuación en otra.

Emparejen cada tarjeta numerada con una tarjeta que tenga una letra.
Una de las tarjetas con letra no tiene pareja. Para esta tarjeta, escriban dos ecuaciones que muestren la movida descrita.

Actividad 2: Mantener la igualdad

Problema 1

Noah y Lin resolvieron la ecuación $14 a = 2 (a - 3)$ .

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? ¿Por qué?

Solución de Noah:

$\begin{aligned} 14 a & = 2 (a - 3) \\ 14 a & = 2 a - 6 \\ 12 a & = - 6 \\ a & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

Solución de Lin:

$\begin{aligned} 14 a & = 2 (a - 3) \\ 7 a & = a - 3 \\ 6 a & = - 3 \\ a & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

Problema 2

Se le pide a Elena que resuelva $15 - 10 x = 5 (x + 9)$ . ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?

Problema 3

Se le pide a Diego que resuelva $3 x - 8 = 4 (x + 5)$ . ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?

¿Estás listo para más?

En un acertijo criptoaritmético, los dígitos de 0 a 9 se representan con letras del alfabeto. Usa lo que sabes sobre la suma para encontrar qué dígito le corresponde a cada letra A, B, E, G, H, L, N y R.

HANGER + HANGER + HANGER = ALGEBRA

Resumen de la lección

Una ecuación nos dice que dos expresiones tienen el mismo valor. Por ejemplo, si $4 x + 9$ y $- 2 x - 3$ tienen el mismo valor, podemos escribir la ecuación

$4 x + 9 = - 2 x - 3$ Anteriormente usamos colgadores para comprender que, si sumamos números positivos en cada lado de la ecuación, los lados seguirán teniendo el mismo valor. ¡También funciona si sumamos números negativos! Por ejemplo, podemos sumar -9 a cada lado de la ecuación.

$\begin{aligned} 4 x + 9 + - 9 & = - 2 x - 3 + - 9 & se suma -9 a cada lado \\ 4 x & = - 2 x - 12 & se agrupan términos semejantes \end{aligned}$

Podemos sumar expresiones a cada lado de una ecuación porque las expresiones representan números. Por ejemplo, podemos sumar $2 x$ a cada lado de la ecuación y seguir manteniendo la igualdad.

$\begin{aligned} 4 x + 2 x & = - 2 x - 12 + 2 x & se suma 2 x a cada lado \\ 6 x & = - 12 & se agrupan términos semejantes \end{aligned}$

Si multiplicamos o dividimos las expresiones en cada lado de una ecuación por el mismo número, seguiremos manteniendo la igualdad (siempre y cuando no dividamos entre cero).

$\begin{aligned} 6 x \cdot \frac{1}{6} = - 12 \cdot \frac{1}{6} & se multiplica cada lado por \frac{1}{6} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 6 x \div 6 = - 12 \div 6 & se divide cada lado entre 6 \end{aligned}$

Con esto vemos que $x = - 2$ es la solución de nuestra ecuación.

Usaremos estas movidas de manera sistemática para resolver ecuaciones en lecciones posteriores.