Lección 14Resolvamos más sistemas

Objetivo de aprendizaje

Resolvamos sistemas de ecuaciones.

Meta de aprendizaje

Puedo usar la estructura de las ecuaciones como ayuda para averiguar cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones.

Términos de la lección

sistema de ecuaciones

Calentamiento: Conversación algebraica: resolvamos sistemas mentalmente

Resuelve mentalmente cada sistema, sin escribir nada:

${\begin{cases} x = 5 \\ y = x - 7 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 4 \\ y = x + 3 \end{cases}$
${\begin{cases} x = 8 \\ y = - 11 \end{cases}$

Actividad 1: Acepta el reto

Estos son muchos sistemas de ecuaciones:

A ${\begin{cases} y = 4 \\ x = - 5 y + 6 \end{cases}$

B ${\begin{cases} y = 7 \\ x = 3 y - 4 \end{cases}$

C ${\begin{cases} y = \frac{3}{2} x + 7 \\ x = - 4 \end{cases}$

D ${\begin{cases} y = - 3 x + 10 \\ y = - 2 x + 6 \end{cases}$

E ${\begin{cases} y = - 3 x - 5 \\ y = 4 x + 30 \end{cases}$

F ${\begin{cases} y = 3 x - 2 \\ y = - 2 x + 8 \end{cases}$

G ${\begin{cases} y = 3 x \\ x = - 2 y + 56 \end{cases}$

H ${\begin{cases} x = 2 y - 15 \\ y = - 2 x \end{cases}$

I ${\begin{cases} 3 x + 4 y = 10 \\ x = 2 y \end{cases}$

J ${\begin{cases} y = 3 x + 2 \\ 2 x + y = 47 \end{cases}$

K ${\begin{cases} y = - 2 x + 5 \\ 2 x + 3 y = 31 \end{cases}$

L ${\begin{cases} x + y = 10 \\ x = 2 y + 1 \end{cases}$

Sin resolverlos, identifica 3 sistemas que creas que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles de resolver. Prepárate para explicar tu razonamiento.
Elige 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de tu lista de “menos difíciles” y otro debe ser de tu lista de “más difíciles”.

Actividad 2: Cinco no es igual a siete

Tyler estaba mirando este sistema de ecuaciones:

${\begin{cases} x + y = 5 \\ x + y = 7 \end{cases}$

Él dijo:

“Con solo mirar el sistema, puedo ver que no tiene solución. Si sumas dos números, esa suma no puede ser igual a dos números diferentes”.

¿Estás de acuerdo con Tyler?

¿Estás listo para más?

En el rectángulo $A B C D$ , el lado $A B$ mide 8 centímetros y el lado $B C$ mide 6 centímetros. $F$ es un punto en $B C$ y $E$ es un punto en $A B$ . El área del triángulo $D F C$ es 20 centímetros cuadrados y el área del triángulo $D E F$ es 16 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área del triángulo $A E D$ ?

Resumen de la lección

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales y una de ellas es de la forma $y = [alguna cosa]$ o $x = [alguna cosa]$ , podemos resolverlo algebraicamente usando una técnica llamada sustitución. La idea básica es remplazar una variable con una expresión a la que es igual (por lo que la expresión sustituye o reemplaza la variable). Por ejemplo, comencemos con el sistema:

${\begin{cases} y = 5 x \\ 2 x - y = 9 \end{cases}$

Como sabemos que $y = 5 x$ , podemos remplazar a $y$ por $5 x$ en la siguiente ecuación $2 x - y = 9$ ,

$2 x - (5 x) = 9,$

luego, resolvemos la ecuación para encontrar $x$ ,

$x = - 3.$

Podemos encontrar el valor de $y$ usando cualquier ecuación. Por ejemplo, al usar la primera ecuación: $y = 5 \cdot - 3$ . Entonces,

$(- 3, - 15)$

es la solución de este sistema. Podemos comprobar esta respuesta al observar las gráficas de las ecuaciones:

¡Sin duda! Las rectas se intersecan en el punto $(- 3, - 15)$ .

No lo sabíamos en ese momento, pero en realidad también estábamos usando sustitución en la última lección. En esa lección, observamos el sistema

${\begin{cases} y = 2 x + 6 \\ y = - 3 x - 4 \end{cases}$

y remplazamos $2 x + 6$ por $y$ en la segunda ecuación para obtener $2 x + 6 = - 3 x - 4$ . ¡Regresa y compruébalo por ti mismo!

Lección 14Resolvamos más sistemas

Objetivo de aprendizaje

Meta de aprendizaje

Términos de la lección

Calentamiento: Conversación algebraica: resolvamos sistemas mentalmente

Problema 1

Actividad 1: Acepta el reto

Problema 1

Actividad 2: Cinco no es igual a siete

Problema 1

¿Estás listo para más?

Problema 1

Resumen de la lección