Lección 9¿Cuándo son iguales?

Objetivo de aprendizaje

Usemos ecuaciones para pensar en situaciones.

Meta de aprendizaje

Puedo usar una expresión para encontrar cuándo dos dimensiones, como la altura, son iguales en una situación de la vida real.

Términos de la lección

coeficiente
término constante

Calentamiento: ¿Cuál escogerían?

Si cuidaras niños, preferirías:

¿Cobrar $5 por la primera hora y $8 por cada hora adicional?

¿Cobrar $15 por la primera hora y $6 por cada hora adicional?

Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Tanques de agua

En esta tabla se muestra la cantidad de agua de dos tanques.

tiempo (minutos)	tanque 1 (litros)	tanque 2 (litros)
$0$	$25$	$1, 000$
$5$	$175$	$900$
$10$	$325$	$800$
$15$	$475$	$700$
$20$	$625$	$600$
$25$	$775$	$500$
$30$	$925$	$400$
$35$	$1, 075$	$300$
$40$	$1, 225$	$200$
$45$	$1, 375$	$100$
$50$	$1, 525$	$0$

Describe lo que ocurre en cada tanque. Haz un dibujo, explica verbalmente o escribe algunas frases.
Usa la tabla para estimar cuándo los tanques tendrán la misma cantidad de agua.
La cantidad de agua (en litros) en el tanque 1 después de $t$ minutos es $30 t + 25$ . La cantidad de agua (en litros) en el tanque 2 después de $t$ minutos es $- 20 t + 1, 000$ . Encuentra el tiempo en el que las cantidades de agua serán iguales.

Actividad 2: Elevadores

Un edificio tiene dos elevadores que se desplazan encima y debajo del primer piso.

A cierta hora del día, el tiempo que tarda el elevador A en desplazarse para alcanzar la altura $h$ en metros es $0.8 h + 16$ segundos.

El tiempo que tarda el elevador B en alcanzar la altura $h$ en metros es $- 0.8 h + 12$ segundos.

¿Cuál es la altura de cada elevador en este momento?
¿Cuánto tiempo tardaría cada elevador en alcanzar el primer piso en este momento?
Si los dos elevadores se desplazan uno hacia el otro, ¿a qué altura se cruzan?, ¿cuánto tiempo tardan en cruzarse?
Si estás en un nivel de estacionamiento subterráneo, 14 metros abajo del primer piso, ¿qué elevador llegaría primero a donde estás?

¿Estás listo para más?

Problema 1

En un número de dos dígitos, el dígito de las unidades es el doble del dígito de las decenas. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 36 más que el número original. Encuentra el número.

Problema 2

La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 11. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 45 menos que el número original. Encuentra el número.

Problema 3

La suma de los dígitos en un número de dos dígitos es 8. El valor del número es 4 menos que 5 veces el dígito de las unidades. Encuentra el número.

Resumen de la lección

Imagina un tanque lleno, con capacidad de 1,500 litros, que tiene una fuga que lo hace perder 2 litros por minuto. Podemos representar el número de litros que quedan en el tanque con la expresión $- 2 x + 1, 500$ , en la cual $x$ representa el número de minutos que el tanque ha estado perdiendo agua.

Ahora imagina que al mismo tiempo, un segundo tanque tiene 300 litros y se llena a una tasa de 6 litros por minuto. Podemos representar la cantidad de agua en litros en el segundo tanque con la expresión $6 x + 300$ , en la cual $x$ representa el número de minutos que han pasado.

Debido a que un tanque está perdiendo agua y el otro está acumulando agua, en algún momento tendrán la misma cantidad de agua, pero ¿cuándo? Preguntar cuándo los dos tanques tienen la misma cantidad de litros, es lo mismo que preguntar cuándo $- 2 x + 1, 500$ (la cantidad de litros en el primer tanque después de $x$ minutos) es igual a $6 x + 300$ (la cantidad de litros en el segundo tanque después de x minutos).

$- 2 x + 1, 500 = 6 x + 300.$

Al resolver la ecuación, obtenemos $x = 150$ minutos. Entonces, después de 150 minutos, la cantidad de litros del primer tanque es igual a la cantidad de litros del segundo tanque. Pero, ¿cuánta agua hay realmente en cada tanque en ese momento? Dado que ambos tanques tienen la misma cantidad de litros después de 150 minutos, podemos reemplazar $x = 150$ minutos en cualquiera de las expresiones.

Al usar la expresión para el primer tanque, obtenemos $- 2 (150) + 1, 500$ , que es igual a $- 300 + 1, 500$ , o 1,200 litros.

Si usamos la expresión para el segundo tanque, obtenemos $6 (150) + 300$ o $900 + 300$ , que también es 1,200 litros. Eso significa que después de 150 minutos, cada tanque tiene 1,200 litros.