Lección 13Resolvamos sistemas de ecuaciones

Objetivo de aprendizaje

Resolvamos sistemas de ecuaciones.

Metas de aprendizaje

Puedo graficar un sistema de ecuaciones.
Puedo resolver sistemas de ecuaciones usando álgebra.

Términos de la lección

sistema de ecuaciones

Calentamiento: Verdadero o falso: dos rectas

Usa las rectas para decidir si cada afirmación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento con base en las rectas.

Una solución de $8 = - x + 10$ es 2.
Una solución de $2 = 2 x + 4$ es 8.
Una solución de $- x + 10 = 2 x + 4$ es 8.
Una solución de $- x + 10 = 2 x + 4$ es 2.
No hay valores de $x$ y de $y$ que hagan que $y = - x + 10$ y $y = 2 x + 4$ sean verdaderas al mismo tiempo.

Actividad 1: Emparejemos gráficas y sistemas

Estos son tres sistemas de ecuaciones graficados en un plano de coordenadas:

Problema 1

Empareja cada gráfica con uno de estos sistemas de ecuaciones.

Gráfica A
Gráfica B
Gráfica C

${\begin{cases} y = 3 x + 5 \\ y = - 2 x + 20 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 2 x - 10 \\ y = 4 x - 1 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 0.5 x + 12 \\ y = 2 x + 27 \end{cases}$

Problema 2

Encuentra la solución de cada sistema y comprueba que tu solución sea razonable basándote en la gráfica.

Ten en cuenta que con los controles deslizantes se ajustan los valores del coeficiente y del término constante de cada ecuación.
Ajusta los controles deslizantes para que tengan los valores del coeficiente y del término constante del siguiente par de ecuaciones.
Haz clic en el lugar en el que las rectas se intersecan. Debe aparecer un punto con sus coordenadas.

open applet in presentation mode

versión impresa

Encuentra la solución de cada sistema y comprueba que tu solución sea razonable basándote en la gráfica.

Actividad 2: Distintos tipos de sistemas

Tu profesor te dará una hoja con algunos sistemas de ecuaciones.

Problema 1

Grafica cada sistema de ecuaciones escribiendo cada pareja de ecuaciones en el applet, una por una.

versión impresa

Grafica cuidadosamente cada sistema de ecuaciones en los planos de coordenadas dados.

Problema 2

Describe cómo se ve la gráfica de un sistema de ecuaciones cuando tiene:

1 solución
0 soluciones
infinitas soluciones

¿Estás listo para más?

Las gráficas de las ecuaciones $A x + B y = 15$ y $A x - B y = 9$ se intersecan en $(2, 1)$ . Encuentra $A$ y $B$ . Muestra o explica tu razonamiento.

Resumen de la lección

A veces es más fácil resolver un sistema de ecuaciones sin tener que representar gráficamente las ecuaciones y buscar un punto de intersección. En general, cuando resolvemos un sistema de ecuaciones que se escribe como:

${\begin{cases} y = [alguna cosa] \\ y = [alguna otra cosa] \end{cases}$

sabemos que estamos buscando una pareja de valores $(x, y)$ que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. En particular, sabemos que el valor de $y$ será igual para ambas ecuaciones. Esto significa que:

$[alguna cosa] = [alguna otra cosa]$

Por ejemplo, considera el siguiente sistema de ecuaciones:

${\begin{cases} y = 2 x + 6 \\ y = - 3 x - 4 \end{cases}$

Como el valor de $y$ en la solución es el mismo para ambas ecuaciones, entonces sabemos que: $2 x + 6 = - 3 x - 4$

Podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de $x$ :

$\begin{aligned} 2 x + 6 & = - 3 x - 4 \\ 5 x + 6 & = - 4 & sumar 3x a ambos lados \\ 5 x & = - 10 & restar 6 de cada lado \\ x & = - 2 & dividir a cada lado entre 5 \end{aligned}$

Pero esto es solo la mitad de lo que estamos buscando: sabemos el valor de $x$ , pero necesitamos el valor de $y$ . Como ambas ecuaciones tienen el mismo valor de $y$ , podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar ese valor:

$y = 2 (- 2) + 6$

$y = - 3 (- 2) - 4$ En ambos casos encontramos que $y = 2$ . Entonces, la solución del sistema es $(- 2, 2)$ . Esto lo podemos comprobar al graficar ambas ecuaciones en un plano de coordenadas.

En general, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:

Ninguna solución. En este caso, las rectas que corresponden a cada ecuación nunca se intersecan.
Exactamente una solución. Las rectas que corresponden a cada ecuación se intersecan exactamente en un punto.
Un número infinito de soluciones. ¡Las gráficas de las dos ecuaciones son la misma recta!