Lección 15Escribamos sistemas de ecuaciones

Objetivo de aprendizaje

Escribamos sistemas de ecuaciones sobre situaciones del mundo real.

Meta de aprendizaje

Puedo escribir un sistema de ecuaciones a partir de una situación del mundo real.

Términos de la lección

sistema de ecuaciones

Calentamiento: ¿Cuántas soluciones? Asociemos

Emparejen cada sistema de ecuaciones con el número de soluciones que tiene:

${\begin{cases} y = - \frac{4}{3} x + 4 \\ y = - \frac{4}{3} x - 1 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 4 x - 5 \\ y = - 2 x + 7 \end{cases}$
${\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ 4 x + 6 y = 17 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 5 x - 15 \\ y = 5 (x - 3) \end{cases}$

Ninguna solución
Una solución
Infinitas soluciones

Actividad 1: Situaciones y sistemas

Para cada situación:

Creen un sistema de ecuaciones.
Sin resolver el sistema, interpreten lo que la solución del sistema les permite saber sobre la situación.

La familia de Lin sale a dar un paseo en bicicleta. El papá de Lin se detiene para tomar una fotografía del paisaje y le dice al resto de la familia que continúen y que luego los alcanzará. Él tarda 5 minutos tomando la foto, y luego avanza a 0.24 millas por minuto hasta que se encuentra con el resto de la familia a lo largo del camino. Lin y los otros avanzaban a 0.18 millas por minuto.
Noah está planeando un viaje en kayak. La agencia de renta de kayaks A cobra un precio base de $15 más $4.50 por hora. Mientras que la agencia de renta de kayaks B cobra un precio base de$12.50 más $5 por hora.
Diego está haciendo una gran tanda de pasteles. Para esta receta, se requieren 3 fresas por cada manzana. Diego usó 52 frutas en total.
La harina cuesta $0.80 por libra y el azúcar cuesta $0.50 por libra. Un pedido de harina y azúcar que pesa 15 libras, cuesta $9.00.

Actividad 2: Falta de información: carreras y boletos de teatro

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
Explica a tu compañero cómo vas a usar la información para resolver el problema.
Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.
Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

Lee en silencio tu tarjeta.
Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.
Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.
Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.
Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Actividad 3: Practiquemos resolver sistemas

Estos son varios sistemas de ecuaciones:

${\begin{cases} y = - 2 x + 6 \\ y = x - 3 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 5 x - 4 \\ y = 4 x + 12 \end{cases}$
${\begin{cases} y = \frac{2}{3} x - 4 \\ y = - \frac{4}{3} x + 9 \end{cases}$
${\begin{cases} 4 y + 7 x = 6 \\ 4 y + 7 x = - 5 \end{cases}$

${\begin{cases} y = x - 6 \\ x = 6 + y \end{cases}$
${\begin{cases} y = 0.24 x \\ y = 0.18 x + 0.9 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 4.5 x + 15 \\ y = 5 x + 12.5 \end{cases}$
${\begin{cases} y = 3 x \\ x + y = 52 \end{cases}$

Sin resolverlos, identifiquen 3 sistemas que crean que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles. Prepárense para explicar su razonamiento.
Elijan 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de su lista de “menos difíciles” y otro debe ser de su lista de “más difíciles”.

Resumen de la lección

Hemos aprendido cómo resolver muchos tipos de sistemas de ecuaciones usando álgebra, ya que serían difíciles de resolver mediante la representación gráfica. Por ejemplo, veamos el siguiente sistema:

${\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x + 2 y = 7 \end{cases}$

En la primera ecuación se tiene que $y = 2 x - 3$ , así que donde sea que veamos $y$ , podemos sustituirla con la expresión $2 x - 3$ . Entonces, la segunda ecuación se convierte en $x + 2 (2 x - 3) = 7$ .

Luego, podemos encontrar el valor para $x$ :

$\begin{aligned} x + 4 x - 6 & = 7 & propiedad distributiva \\ 5 x - 6 & = 7 & combina términos semejantes \\ 5 x & = 13 & suma 6 a cada lado \\ x & = \frac{13}{5} & multiplica cada lado por \frac{1}{5} \end{aligned}$

Sabemos que el valor de $y$ para la solución es el mismo en ambas ecuaciones, por lo que podemos usar cualquiera de las dos para encontrarlo. Por ejemplo, usemos la primera ecuación:

$\begin{aligned} y & = 2 (\frac{13}{5}) - 3 & remplaza x = \frac{13}{5} en la ecuación \\ y & = \frac{26}{5} - 3 & multiplica 2 (\frac{13}{5}) para hacer \frac{26}{5} \\ y & = \frac{26}{5} - \frac{15}{5} & reescribe 3 como \frac{15}{5} \\ y & = \frac{11}{5} \end{aligned}$

Si sustituimos $x = \frac{13}{5}$ en la otra ecuación, $x + 2 y = 7$ , obtenemos el mismo valor de $y$ . Entonces, la solución del sistema es $(\frac{13}{5}, \frac{11}{5})$ .

Hay muchos tipos de sistemas de ecuaciones que aprenderemos a resolver en próximos grados escolares, como ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 6 \\ - x + 2 y = 3 \end{cases}$ .

O incluso ${\begin{cases} y = x^{2} + 1 \\ y = 2 x + 3 \end{cases}$

Lección 15Escribamos sistemas de ecuaciones

Objetivo de aprendizaje

Meta de aprendizaje

Términos de la lección

Calentamiento: ¿Cuántas soluciones? Asociemos

Problema 1

Actividad 1: Situaciones y sistemas

Problema 1

Actividad 2: Falta de información: carreras y boletos de teatro

Problema 1

Actividad 3: Practiquemos resolver sistemas

Problema 1

Resumen de la lección