Lección 10¿Sobre o fuera de la recta?

Objetivo de aprendizaje

Interpretemos el significado de distintos puntos en un plano de coordenadas.

Metas de aprendizaje

Puedo identificar pares ordenados que son soluciones de una ecuación.
Puedo interpretar pares ordenados que son soluciones de una ecuación.

Calentamiento: Cuál es diferente: rectas en el plano

¿Cuál es diferente? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Dinero en el bolsillo

Jada le dijo a Noah que ella tiene en su bolsillo $2 en monedas de veinticinco centavos y de diez centavos, y que en total tiene 17 monedas. Le pidió que adivinara cuántas monedas de cada tipo tiene

Problema 1

Esta es una tabla que muestra algunas combinaciones de monedas de veinticinco centavos y de diez centavos que valen $2. Completa la tabla.

número de monedas de veinticinco centavos	número de monedas de diez centavos
$0$	$20$
$4$
	$0$
	$5$

Problema 2

Esta es una gráfica de la relación entre el número de monedas de veinticinco centavos y el número de monedas de diez centavos cuando hay 17 monedas en total.

¿Qué representa el punto $A$ ?
¿Cuánto dinero en dólares vale la combinación representada por el punto $A$ ?

Problema 3

¿Es posible que Jada tenga 4 monedas de veinticinco centavos y 13 de diez centavos en su bolsillo? Explica tu razonamiento.

Problema 4

¿Cuántas monedas de veinticinco centavos y de diez centavos debe tener Jada? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Hagamos letreros

Clare y Andre están haciendo letreros para todos los casilleros como parte de las decoraciones para la próxima semana del orgullo escolar. Ayer Andre hizo 15 letreros y Clare hizo 5 letreros, y hoy necesitan hacer más. En el siguiente plano de coordenadas se muestra el progreso de cada persona el día de hoy.

Con base en las rectas, para cada persona, escribe si la afirmación es verdadera o falsa.

punto	lo que dice la persona	Clare	Andre
$A$	A los 40 minutos, tengo 25 letreros terminados.
$B$	A los 75 minutos, tengo 42 letreros y medio terminados
$C$	A los 0 minutos, tengo 15 letreros terminados.
$D$	A los 100 minutos, tengo 60 letreros terminados.

¿Estás listo para más?

4 palillos forman 1 cuadrado
7 palillos forman 2 cuadrados
10 palillos forman 3 cuadrados

¿Observas un patrón? Si es así, ¿cuántos palillos necesitarías para hacer 10 cuadrados usando tu patrón? ¿Puedes representar tu patrón usando una expresión?

Resumen de la lección

En una unidad anterior estudiamos relaciones lineales. Aprendimos que los valores de $x$ y $y$ que hacen verdadera una ecuación corresponden a los puntos $(x, y)$ en la gráfica. Por ejemplo, si tenemos $x$ libras de harina que cuestan $0.80 por cada libra y $y$ libras de azúcar que cuestan $0.50 por cada libra, y el costo total es de $9.00, entonces podemos escribir la siguiente ecuación para representar la relación entre $x$ y $y$ :

$0.8 x + 0.5 y = 9$

Como 5 libras de harina cuestan $4.00 y 10 libras de azúcar cuestan $5.00, sabemos que $x = 5$ , $y = 10$ es una solución a la ecuación, y el punto $(5, 10)$ es un punto en la gráfica. La recta que se muestra es la gráfica de la ecuación:

Observa que se muestran dos puntos que no están en la recta: ¿qué significan en el contexto? El punto $(1, 14)$ significa que hay 1 libra de harina y 14 libras de azúcar. El costo total para esto es $0.8 \cdot 1 + 0.5 \cdot 14$ o $7.80. Ya que el costo no es $9.00, este punto no está en la gráfica. Asimismo, 9 libras de harina y 16 libras de azúcar cuestan $0.8 \cdot 9 + 0.5 \cdot 16$ o $15.20, de manera que el otro punto tampoco está en la gráfica.

Supongamos que también sabemos que una cantidad de harina y de azúcar pesan 15 libras. Eso significa que

$x + y = 15$

Si dibujamos la gráfica de esta ecuación en el mismo plano de coordenadas, observamos que pasa por dos de los tres puntos etiquetados:

El punto $(1, 14)$ está sobre la gráfica de $x + y = 15$ pues $1 + 14 = 15$ . También, $5 + 10 = 15$ . Pero $9 + 16 \neq 15$ , por lo que $(9, 16)$ no está en la gráfica de $x + y = 15$ . En general, si tenemos dos rectas en el mismo plano de coordenadas:

Las coordenadas de un punto que está en ambas rectas hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Las coordenadas de un punto que está en una sola recta hacen que solo una ecuación sea verdadera.
Las coordenadas de un punto que no está sobre alguna recta hacen que ambas ecuaciones sean falsas.