Lección 4Raíces cuadradas en la recta numérica

Objetivo de aprendizaje

Exploremos las raíces cuadradas.

Metas de aprendizaje

Puedo encontrar una aproximación decimal de una raíz cuadrada.
Puedo ubicar raíces cuadradas en la recta numérica.

Términos de la lección

número racional
raíz cuadrada

Calentamiento: Diagonales

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Elevemos rectas al cuadrado

Problema 1

Estima la longitud del segmento de recta aproximándola a la décima de unidad más cercana (el área de cada cuadrado de la cuadrícula es 1 unidad cuadrada).

Problema 2

Encuentra la longitud exacta del segmento.

Actividad 2: Raíz cuadrada de 3

Diego dijo que él piensa que $\sqrt{3} \approx 2.5$ .

Usa el cuadrado para explicar por qué 2.5 no es una buena aproximación de $\sqrt{3}$ . Encuentra un punto en la recta numérica que esté más cerca de $\sqrt{3}$ . Dibuja un nuevo cuadrado en los ejes y utilízalo para explicar cómo sabes que el punto que ubicaste es una buena aproximación para $\sqrt{3}$ .
Usa el hecho de que $\sqrt{3}$ es una solución de la ecuación $x^{2} = 3$ para encontrar una aproximación decimal de $\sqrt{3}$ cuyo cuadrado está entre 2.9 y 3.1.

¿Estás listo para más?

Un agricultor tiene un terreno cubierto de césped encerrado por una cerca en forma de un cuadrado con una longitud de lado de 4 metros. Para convertirlo en un hogar adecuado para algunos animales, el granjero quisiera delimitar un cuadrado más pequeño para llenarlo con agua, como se muestra en la figura.

¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado más pequeño para que la mitad del área sea césped y la mitad agua?

Resumen de la lección

Este es un segmento de recta en una cuadrícula. ¿Cuál es la longitud de este segmento de recta?

Al dibujar algunos círculos, podemos darnos cuenta de que mide más de 2 unidades pero menos de 3 unidades.

Para encontrar el valor exacto de la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él, usando el segmento como uno de los lados del cuadrado.

El área de este cuadrado es 5 unidades cuadradas (¿puedes ver por qué?). Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado es $\sqrt{5}$ unidades.

Observa que 5 es mayor que 4, pero menor que 9. Eso significa que $\sqrt{5}$ es mayor que 2, pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.

Con algo de aritmética, podemos obtener una idea aún más precisa de dónde está $\sqrt{5}$ en la recta numérica. La imagen con los círculos muestra que $\sqrt{5}$ está más cerca de 2 que de 3, así que busquemos el valor de 2.1² y 2.2² y veamos qué tan cerca están de 5. Resulta que ${2.1}^{2} = 4.41$ y ${2.2}^{2} = 4.84$ , entonces necesitamos probar un número más grande. Si aumentamos nuestra búsqueda en una décima, encontramos que ${2.3}^{2} = 5.29$ . Esto significa que $\sqrt{5}$ es mayor que 2.2, pero menor que 2.3. Si quisiéramos seguir adelante, podríamos intentar ${2.25}^{2}$ y eventualmente limitar el valor de $\sqrt{5}$ al lugar de las centésimas. Las calculadoras realizan este mismo proceso con muchos decimales, dando una aproximación como $\sqrt{5} \approx 2.2360679775$ . Aunque se trata de muchas cifras decimales, todavía no es exacto porque $\sqrt{5}$ es irracional.