Lección 9El recíproco

Objetivo de aprendizaje

Determinemos si un triángulo es un triángulo rectángulo.

Metas de aprendizaje

Puedo explicar por qué es cierto que, si las longitudes de un triángulo satisfacen la ecuación $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , entonces debe ser un triángulo rectángulo.
Si conozco las longitudes de los lados de un triángulo, puedo determinar si es un triángulo rectángulo o no.

Términos de la lección

catetos
hipotenusa
teorema de Pitágoras

Calentamiento: Las manecillas de un reloj

Considera las puntas de las manecillas de un reloj analógico en el que la manecilla que indica las horas mide 3 centímetros de largo y la manecilla que indica los minutos mide 4 centímetros de largo.

En el transcurso de un día:

¿Qué es lo más lejos que pueden estar las dos puntas de las manecillas?
¿Qué es lo más cerca que pueden estar las dos puntas de las manecillas?
¿En algún momento las dos puntas están a exactamente cinco centímetros de distancia?

Actividad 1: Demostremos el recíproco

Estos tres triángulos tienen dos lados que miden 3 y 4 unidades y su tercer lado tiene una longitud desconocida.

Ordena los siguientes seis números de menor a mayor. Pon un signo igual entre cualesquiera que sepas que son iguales. Prepárate para explicar tu razonamiento.

$1 5 7 x y z$

¿Estás listo para más?

Un argumento similar también nos permite distinguir a los triángulos acutángulos de los triángulos obtusángulos utilizando únicamente las longitudes de sus lados.

Determina si los triángulos que tienen las siguientes longitudes de lados son acutángulos, rectángulos u obtusángulos. Para los triángulos obstusángulo y rectángulo identifica cuál es el lado opuesto al ángulo recto o al obtuso.

$x = 15$ , $y = 20$ , $z = 8$
$x = 8$ , $y = 15$ , $z = 13$
$x = 17$ , $y = 8$ , $z = 15$

Actividad 2: Calculemos los catetos de algunos triángulos rectángulos

Problema 1

Con la información dada para los tríangulos rectángulos en esta imagen, halla las longitudes de los catetos desconocidas aproximándolas a la décima más cercana.

Problema 2

El siguiente triángulo no es un triángulo rectángulo. ¿De cuáles dos formas diferentes podrías cambiar uno de los valores para que sea un triángulo rectángulo? Dibuja estos triángulos rectángulos nuevos y marca claramente el ángulo recto.

Resumen de la lección

¿Qué tal que no sea claro si un triángulo es un triángulo rectángulo o no? Mira este triángulo:

¿Es un triángulo rectángulo? Es difícil determinarlo si solo lo miramos y es posible que los lados no estén dibujados a escala.

Supongamos que tenemos un triángulo con lados de longitudes $a$ , $b$ y $c$ , y $c$ es el lado más largo. El recíproco del teorema de Pitágoras nos dice que si $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Por ejemplo, como $8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289 = 17^{2}$ , cualquier triángulo que tenga lados de longitudes 8, 15 y 17 tiene que ser un triángulo rectángulo.

Juntos, el teorema de Pitágoras y su recíproco proporcionan una forma de comprobar con un solo paso si un triángulo es un triángulo rectángulo utilizando únicamente las longitudes de sus lados. Si $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , entonces es un triángulo rectángulo. Si $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ , entonces no es un triángulo rectángulo.