Lección 10 Planos complejos y polares Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Representar números complejos usando coordenadas polares.
Multiplicar números complejos que están escritos en forma polar.
En el plano, hemos ubicado números complejos de la forma
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Alyce, Javier y Verónica tienen dos maneras distintas de escribir la ubicación de los objetos en la excavación arqueológica: una manera es usar coordenadas rectangulares
Javier piensa que la ubicación del punto marcado en el papel con cuadrícula polar está dado por las coordenadas polares
Alyce piensa que la ubicación del punto es
Verónica piensa que la ubicación del punto es
1.
¿Qué piensas? ¿Quién dio la ubicación del punto correctamente? Explica por qué.
2.
¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto marcado?
Alyce y Verónica recuerdan que aprendieron a representar números complejos como puntos o vectores en un plano complejo, en el cual el eje
3.
El punto
4.
En el plano complejo, el punto
La aritmética de números complejos en términos de coordenadas polares
La multiplicación de números complejos:
Alyce y Verónica aprendieron que cuando los números complejos se escriben en forma compleja,
“Solo multiplicas los valores de
Javier escribe en símbolos lo que Verónica dijo:
Javier no entiende cómo puede ser verdadero lo que Verónica dijo; es decir,
Por eso, él decide probar la regla de Verónica con un ejemplo específico.
5.
La comprobación de Javier:
a.
Escoge dos números complejos escritos de la forma
b.
Reescribe ambos números complejos en forma polar.
c.
Multiplica las formas polares de los dos números complejos entre sí usando la regla de Verónica.
d.
Convierte el producto de forma polar a la forma
e.
¿Usando la regla de Verónica obtuviste el mismo resultado que en la parte a?
Javier está más convencido, pero le gustaría alguna demostración de que la regla de Verónica funciona todo el tiempo, y no solamente para los pocos ejemplos que él ensayó. Verónica dice: “Según recuerdo, tienes que usar las identidades de suma y diferencia del seno y coseno para demostrarlo”. Javier decide que intentará demostrar la regla de Verónica.
6.
La demostración de Javier:
a.
Multiplica
b.
Reescribe los resultados usando las identidades de suma y diferencia del seno y coseno que escribiste en la actividad “Doble identidad”.
c.
Manipula tu expresión final hasta que corresponda con lo que dijo Verónica.
Potencias y raíces de números complejos:
Javier tiene una idea nueva mientras piensa acerca de la regla de Verónica para multiplicar números complejos en forma polar. “Como elevar algo a la potencia
7.
Completa la regla de Javier para
Javier se pregunta qué le ocurre a los números complejos a medida que se elevan a potencias que son cada vez más grandes. Él empieza con el número complejo
8.
Usa la regla de Javier para elevar
a.
b.
c.
d.
e.
f.
9.
Ubica en el siguiente plano complejo cada uno de los números complejos anteriores. Es decir, usa el eje horizontal como un eje de números reales y el eje vertical como un eje de números imaginarios. Un número complejo
10.
A Javier le sorprendió ver que
a.
Si
b.
Si
Javier decidió hacer algunas de sus búsquedas en internet para ver si puede encontrar más información acerca de las raíces complejas de números reales. Estos son algunos de los resultados de su búsqueda:
Idea #1: Si
Idea #2: Los módulos, o magnitudes de los vectores que representan las raíces, son todos iguales.
Idea #3: Las
11.
A partir de estas ideas, grafica las raíces cúbicas de
¿Cuáles son las tres raíces cúbicas de
12.
A partir de estas ideas, grafica las raíces sextas de
¿Cuáles son las seis raíces sextas de
¿Listo para más?
En el sistema de los números reales
1.
Encontrando los valores que son soluciones complejas de la ecuación
2.
Usando el método descrito en los problemas del 10 al 12.
3.
Comprueba que con estos dos métodos se obtienen los mismos resultados.
Aprendizajes
El número complejo
La forma polar de los números complejos facilita los cálculos usando las siguientes reglas:
Multiplicación:
Elevar a la potencia
Encontrar todos las raíces
Vocabulario
- coordenadas polares
- módulo
- sistema de coordenadas rectangulares
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos cómo escribir números complejos en forma polar. Usamos la forma polar para multiplicar y dividir números complejos y para elevar números complejos a potencias. También aprendimos que todo número complejo tiene raíces n-ésimas que son fáciles de encontrar en forma polar.
1.
Aplica la regla
2.
Usa la definición de