Lección 9 Más identidades ocultas Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Solucionar estratégicamente ecuaciones trigonométricas.

¿Qué herramientas e ideas adicionales puedo usar para solucionar ecuaciones trigonométricas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Nota: Como las funciones trigonométricas son periódicas, las ecuaciones trigonométricas suelen tener varias soluciones. En esta actividad, debes encontrar todas las soluciones de las ecuaciones trigonométricas al representar una sucesión de soluciones usando la forma $respuesta \pm k π n$ , donde $k π$ representa la longitud del intervalo entre las soluciones sucesivas.

Anteriormente, Javier observó que antes de poder usar una función inversa para solucionar una ecuación trigonométrica, es necesario cambiar la forma de las expresiones trigonométricas de la ecuación. Para hacerlo, se deben buscar identidades trigonométricas que puedan aplicarse en la expresión. A veces, se debe manipular la expresión algebraicamente para poder identificar una identidad trigonométrica que aplique.

Este es un resumen de cómo Javier habría solucionado un problema. Puedes usar su estrategia para solucionar los otros problemas de esta lección.

1.

Soluciona: $2 \sin (x) \cos (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

a.

Idea #1: ¿Ves una identidad trigonométrica? Si es así, escribe la ecuación en una forma equivalente usando la identidad. Si no es así, ¿puedes manipular algebraicamente la ecuación trigonométrica?

¿Cuál crees que debería ser la estrategia de Javier para empezar a resolver este problema: usar una identidad o manipular algebraicamente la ecuación?

b.

Pon en práctica lo que pensaste:

c.

Idea #2: Repite la idea #1 hasta que hayas despejado la función trigonométrica a un lado de la ecuación.

Usa la idea #2:

d.

Idea #3: Aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados de la ecuación, lo que te dará una ecuación de la forma: una expresión = un ángulo; despeja la variable en esta ecuación.

Usa la idea #3:

e.

Idea #4: Con este proceso se encuentra apenas una solución de un número infinito de soluciones. Como las funciones trigonométricas son periódicas, al sumar o restar varios múltiplos del periodo se generarán nuevas soluciones. Escribe este conjunto infinito de soluciones de la forma $respuesta + q π k$ , donde $q π$ representa la longitud del intervalo entre soluciones sucesivas.

Usa la idea #4:

f.

Idea #5: Como en la idea #3 se usó una función trigonométrica inversa, obtenemos un valor único como una solución de la expresión trigonométrica inversa, aunque puede haber otra solución en otro cuadrante del círculo unitario. Encuentra esta otra solución y el conjunto infinito de soluciones de la ecuación.

Usa la idea #5:

g.

Pistas para solucionar ecuaciones trigonométricas: las gráficas de las funciones trigonométricas y el círculo unitario se pueden usar como herramientas para razonar sobre las soluciones de una ecuación trigonométrica.

Ilustra cómo una gráfica y el círculo unitario te pueden ayudar a encontrar las soluciones de esta ecuación:

Gráfica:

Círculo unitario:

Soluciona las siguientes ecuaciones trigonométricas usando las ideas y las pistas descritas anteriormente.

2.

$2 \cos (3 x) = \sqrt{2}$

3.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 = 0$

Haz una pausa y reflexiona

4.

$2 \cos^{2} (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

5.

$2 \sin (2 x) - 3 \sin (x) = 0$

6.

$(\sin {(x) + \cos (x))}^{2} = \frac{3}{2}$

¿Listo para más?

Soluciona: $\sin (2 x) - \tan (x) = 0$

Aprendizajes

Nuevos aspectos a tener en cuenta al solucionar ecuaciones trigonométricas:

Resumen de la lección

En esta lección extendimos nuestras estrategias para solucionar ecuaciones trigonométricas. Analizamos ecuaciones que incluían múltiplos de la variable y ecuaciones trigonométricas que se podrían solucionar de manera exacta usando el diagrama del círculo unitario. También analizamos ecuaciones que se solucionan usando las funciones trigonométricas de la calculadora y aquellas que se comportan como ecuaciones cuadráticas. Para estas últimas, tuvimos que factorizar las expresiones.

Repaso

1.

Este vector representa un número complejo.

Reescribe el número complejo como un punto de la forma $(a, b)$ .

2.

Grafica el vector $(4, i)$ en el plano complejo.

3.

Encuentra $| - 5 + 3 i |$ y $| 4 + i |$ .

4.

Usa la gráfica de $y = 3 (\cos 3 x) - 2$ para encontrar todos los valores de $x$ cuando $y = - 2$ . Escribe tu respuesta o tus respuestas de la forma $\pm 2 π k$ , donde $2 π k$ representa la longitud del intervalo entre soluciones sucesivas.

5.

Por lo general, cuando graficamos usando radianes, los incrementos en el eje $x$ se representan con números en vez de múltiplos de $π$ . Reemplaza $- π$ , $- \frac{π}{2}$ , $\frac{π}{2}$ y $π$ en el eje $x$ por los números que representan.